给定P, 设厂商短期总成本函数为TC=Q^3-2Q^2+2Q+5, 求厂商短期利润最大化的产量以及最大的利润，在什么情况下，厂商宁可(在短期)关门？

根据微观经济学理论，厂商在短期内的利润最大化产量为边际成本等于边际收益的产量。厂商的短期总成本函数为：TC=Q^3-2Q^2+2Q+5，求导得到边际成本函数为：MC=3Q^2-4Q+2。厂商短期总收益函数为TR=P*Q，求导得到边际收益函数为MR=P。

因此，厂商在短期内的利润最大化产量满足以下条件：

MC=MR，即3Q^2-4Q+2=P

解出P关于Q的函数为：P=3Q^2-4Q+2

厂商短期利润函数为π=TR-TC=P*Q-(Q^3-2Q^2+2Q+5)，对Q求导得到：

π'=P-3Q^2+4Q-2

令π'=0求解得到Q=0.667，将Q=0.667代入P=3Q^2-4Q+2得到P=1.111。

因此，在产量为0.667时，厂商的短期利润最大，最大利润为π=1.037。

如果P<AVC，即价格低于平均变量成本，厂商会宁可关门停产，因为此时生产会带来更大的亏损。

相关问题

goalfunc(x) = 0.5 * x'Hx - b'x 求解这个函数最好的办法

### 高效求解二次规划问题的方法

#### MATLAB 中的 `quadprog` 函数
在 MATLAB 中，可以利用内置函数 `[x,fval]=quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options)` 来解决标准形式的二次规划问题[^1]。此方法适用于具有线性约束条件下的最小化问题。

#### Python 实现：基于拉格朗日乘子法
另一种方式是在 Python 中通过编写自定义代码来解决问题。例如，在给定的例子中，程序设置了表示该特定二次规划问题所需的矩阵 H 和向量 b、c，并调用了名为 qlag 的函数以获得最优解 (array([21/11, 43/22, 3/22]), array([29/11, -15/11])) [^2]。这种方法允许更灵活地调整参数并处理不同类型的边界情况。

#### 使用有效集算法
对于某些特殊情况下的凸二次规划问题，还可以采用有效集算法来进行快速而精确地求解。如资料所示，仅需两次迭代即可得到全局最优解 \( \boldsymbol{x}_0=\begin{pmatrix}0\\0\\2\end{pmatrix}\)，此时的目标函数值为 \(f(\boldsymbol{x}_0)=-20\) [^4]。这种技术特别适合那些能够被转换成标准形式的问题实例。

为了提高效率，建议先尝试使用现有的库和工具包（比如 CVXOPT 或 OSQP），这些软件已经实现了高效的内部优化策略；如果需要定制化的解决方案，则可以根据具体应用场景选择合适的数值分析技巧或者启发式搜索方法。

from cvxopt import matrix, solvers

def solve_qp(H, f, A=None, b=None, lb=None, ub=None):
    P = matrix(H)
    q = matrix(f)

    if A is not None and b is not None:
        G = matrix(A)
        h = matrix(b)
    else:
        G = None
        h = None
    
    if lb is not None or ub is not None:
        bounds = []
        if lb is not None:
            bounds += [(l,) for l in lb]
        if ub is not None:
            bounds += [(None, u) for u in ub]
        
        GLP = spdiag([-matrix(1.0,(len(bounds),1))] * len(bounds))
        hlP = matrix(sum((list(lb) if lb is not None else []),(list(ub) if ub is not None else [])), tc='d')
    
        if G is not None:
            G = vstack([G,GLP])
            h = vcat([h,hLP])
        else:
            G = GLP
            h = hLP
            
    solution = solvers.qp(P,q,G,h)['x']
    return list(solution.flatten())

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### 1XJTLU创业学院（太仓）封面页

**模块代码和名称** | **DTS102TC 使用C++编程**
---|---
学校名称 | 人工智能与先进计算学院
作业标题 | 课程作业1（个人评估）
提交截止日期 | 2024年10月18日星期五北京时间下午5点（UTC+8）
最终字数 | 不适用
是否同意大学将您的作品匿名用于教学目的，请在此处填写“是”。 | 如果您同意大学将您的作品匿名用于教学目的，请在此处填写“是”。
我已阅读并理解了大学关于抄袭、合谋和伪造数据的政策（可在在线学习商城获取）。参考此政策，我声明：
- 我的作品中没有任何抄袭和/或合谋行为。
- 我的作品中没有虚构的数据。
通过将我的作业上传到在线学习商城，我正式声明上述所有信息均真实无误。

### 打分 —— 教师专用

**学号** | |
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评分阶段 | 评分阶段 | 批改人代码 | 学习成果达成情况（F/P/M/D）（请适当修改） | 最终得分
初评 —— 红笔 | 初评 —— 红笔 | 原始分数已被接受 |
复审 —— 绿笔 | 复审 —— 绿笔 | IM 签字 | （请圈选合适项）： Y / N
数据录入和分数计算已由另一教师检查（请圈选）： Y
第二评阅人如需 —— 绿笔 | 第二评阅人如需 —— 绿笔 | 可能的学术违规（请勾选合适项）

### 学术办公室专用

接收日期 | 晚交天数 | 晚交罚分 | ☐ 类别A | ☐ 类别A | 总学术违规罚分（A/B/C/D/E，请适当修改） _________________
---|---|---|---|---|---
| ☐ 类别B | ☐ 类别B | 总学术违规罚分（A/B/C/D/E，请适当修改） _________________
| ☐ 类别C | ☐ 类别C | 总学术违规罚分（A/B/C/D/E，请适当修改） _________________
| ☐ 类别D | ☐ 类别D | 总学术违规罚分（A/B/C/D/E，请适当修改） _________________
| ☐ 类别E | ☐ 类别E | 总学术违规罚分（A/B/C/D/E，请适当修改） _________________

### DTS102TC 使用C++编程 课程作业1（个人项目评估）

**截止日期**: 2024年10月18日星期五北京时间下午5点（UTC+8）
**占总成绩比例**: 50%
**最高分**: 100分（100% 个人成绩）

#### 考核目标:
A. 展示对C++编程语言基本原理的知识和理解。
B. 展示对软件开发过程基本知识的理解。

#### 迟交政策:
每超过一个工作日扣总分的5%，最多扣除五个工作日。

#### 注意事项:
- 请仔细阅读课程作业说明和要求。不遵循这些说明和要求可能导致失分。
- 作业必须使用MS Word编辑并转换成PDF文档，并通过在线学习商城提交至Gradescope。仅接受电子提交，不接受纸质提交。所有提交的文档应为英文。
- 提交后请下载文件并确认其可读性。文件在上传过程中可能因网络连接缓慢等原因而损坏，但学生有责任确保提交的功能性和正确性。
- 请从在线学习商城下载源代码模板。不要更改每个代码脚本的文件名。
- 严格遵守学术诚信政策。

### 概述
本次任务的目的是获得C++编程和软件开发技能的经验。您需要编写C++程序来解决每个问题。对于每个问题，您需要编写代码以显示与示例运行相同的结果。提交代码至Gradescope进行测试。此外，您还需要在报告中为每个问题写一段简短的描述，分析方法并讨论结果及测试用例。代码质量，如变量命名规则和函数注释，也将被评估。

### 问题 1. 金融应用：未来投资价值（10分）
编写一个程序，输入投资额、年利率和年限，计算并显示未来投资价值，公式如下：
\[ \text{futureInvestmentValue} = \text{investmentAmount} \times (1 + \text{monthlyInterestRate})^{(\text{numberOfYears} \times 12)} \]

例如，如果您输入金额1000.56，年利率4.25%，年限1年，则未来投资价值为1043.92美元。

**示例运行**

请输入投资额：1000.56
请输入年利率百分比：4.25
请输入年限：1
累积值为：1043.92

### 问题 2. 科学：一周中的某一天（10分）
Zeller的同余算法是由Christian Zeller开发的，用于计算一周中的某一天。公式如下：

\[
h = (q + \left\lfloor \frac{13(m+1)}{5} \right\rfloor + K + \left\lfloor \frac{K}{4} \right\rfloor + \left\lfloor \frac{J}{4} \right\rfloor - 2J) \mod 7
\]

其中：
- \( h \) 是一周中的某一天（0: 星期六，1: 星期日，2: 星期一，3: 星期二，4: 星期三，5: 星期四，6: 星期五）。
- \( q \) 是月份中的某一天。
- \( m \) 是月份（3: 3月，4: 4月，...，12: 12月）。1月和2月被视为上一年的第13月和第14月。
- \( j \) 是年份除以100的商。
- \( k \) 是世纪年份（即年份模100）。

注意：所有除法都执行整数除法。

编写一个程序，输入年份、月份和月份中的某一天，显示一周中的某一天。

**示例运行 1**

请输入年份（例如2012）：2015
请输入月份（1-12）：1
请输入月份中的某一天（1-31）：25
星期几是：星期日

**示例运行 2**

请输入年份（例如2012）：2012
请输入月份（1-12）：5
请输入月份中的某一天（1-31）：12
星期几是：星期六

**提示**：1月和2月在公式中分别视为13月和14月，因此需要将用户输入的1转换为13，2转换为14，并将年份改为前一年。

### 问题 3. 排序三个城市（10分）
编写一个程序，输入三个城市名称，并按字母顺序升序排列。城市名称可以包含空格。

**示例运行**

请输入第一个城市：上海
请输入第二个城市：苏州
请输入第三个城市：北京
按字母顺序排列的三个城市是：北京 上海 苏州

### 问题 4. 验证密码（10分）
某些网站对密码有特定的规则。假设密码规则如下：
- 密码至少要有八个字符。
- 密码只能包含字母和数字。
- 密码至少要包含两个数字。

编写一个程序，输入密码并显示有效密码或无效密码。

**示例运行**

请输入密码字符串：DTS102TC
有效密码！

请输入密码字符串：C++ Programming
无效密码！

### 问题 5. 代数：解2×2线性方程组（15分）
您可以使用克拉默法则解以下2×2线性方程组：

编写一个具有以下头文件的函数：

void solveEquation(double a, double b, double c, double d, double e, double f, double& x, double& y, bool& isSolvable)

如果 \( ad - bc \) 为0，方程无解且 `isSolvable` 应为 `false`。

编写一个程序，输入 \( a, b, c, d, e, f \)，并显示结果。如果 \( ad - bc \) 为0，报告“方程无解”。

**示例运行**

请输入 a, b, c, d, e, f：9.0 4.0 3.0 -5.0 -6.0 -21.0
x 是 -2.0 和 y 是 3.0

请输入 a, b, c, d, e, f：1.0 2.0 2.0 4.0 4.0 5.0
方程无解

### 问题 6. 金融应用：计算未来投资价值（15分）
编写一个函数，给定利率和指定年限，计算未来的投资价值。未来的投资价值按照问题1中的公式确定。

使用以下函数头文件：

double futureInvestmentValue(double investmentAmount, double monthlyInterestRate, int years)

例如，`futureInvestmentValue(10000, 0.05/12, 5)` 返回 12833.59。

编写一个测试程序，提示用户输入投资额（例如1000）和利率（例如9%），并打印出1到30年的未来价值表，如下所示：

**示例运行**

投资金额：1000
年利率：9
年数 未来价值
1 1093.81
2 1196.41
...
29 13467.25
30 14730.58

### 问题 7. 统计学：计算平均值和标准差（15分）
应用以下公式计算n个数的标准差：

为了使用该公式计算偏差，您需要用数组存储各个数值，以便在计算平均值之后继续使用。

您的程序应包含以下函数：

// 计算双精度浮点数组的平均值
double mean(const double x[], int size)

// 计算双精度浮点数的偏差
double deviation(const double x[], int size)

编写一个测试程序，输入10个数字并显示平均值和标准差，如下所示：

**示例运行**

输入十个数字：1.9 2.5 3.7 2 1 6 3 4 5 2
平均值是 3.11
标准差是 1.55738

### 问题 8. 马尔可夫矩阵（15分）
如果一个 \( n \times n \) 矩阵的所有元素均为正数且每一列的元素之和为1，则该矩阵称为正马尔可夫矩阵。编写以下函数来检查一个矩阵是否为马尔可夫矩阵：

const int SIZE = 3;
bool isMarkovMatrix(const double m[][SIZE]);

编写一个测试程序，输入一个3×3的双精度浮点矩阵并测试它是否为马尔可夫矩阵。以下是示例运行：

**示例运行 1**

输入一个3×3矩阵，逐行输入：0.15 0.875 0.375
0.55 0.005 0.225
0.30 0.12 0.4
这是一个马尔可夫矩阵

**示例运行 2**

输入一个3×3矩阵，逐行输入：0.95 -0.875 0.375
0.65 0.005 0.225
0.30 0.22 -0.4
这不是一个马尔可夫矩阵

### 提交
每位学生必须提交以下文件：
- 报告：一个名为 `Student_ID.pdf` 的文件，包含一封带有个人信息的封面信。这是一份简短的报告，涉及每个问题的程序设计、测试结果和分析评论。报告不得超过10页。
- 代码：一个名为 `Student_ID.zip` 的压缩文件，包括您的程序实现及其所有源代码文件，即 `Question1.cpp`, `Question2.cpp`, `Question3.cpp` 等。您必须在Gradescope上提交这些源代码，即使有些问题尚未解答。

### 附录：个人评估评分标准

| 任务 | 分值 | 评分标准 | 得分 |
| --- | --- | --- | --- |
| 问题 1 | 10 | 报告 [5分] <br> • 正确使用计算未来投资价值的公式 [2分] <br> • 清晰地显示计算的未来投资价值，包括美元符号和两位小数 [2分] <br> • 代码清晰简洁 [1分] | 程序执行 [5分] <br> • 测试和执行程序。正确计算并得出给定示例的正确答案 [5分] |
| 问题 2 | 10 | 报告 [5分] <br> • 正确实现Zeller的同余算法，包括所有计算和调整 [2分] <br> • 定义一个函数，接受年份、月份和日期作为参数，返回一周中的某一天 [2分] <br> • 代码清晰简洁，变量名有意义，有注释 [1分] | 程序执行 [5分] <br> • 测试和执行程序。正确计算并得出给定示例的正确答案 [5分] |
| 问题 3 | 10 | 报告 [5分] <br> • 使用适当的排序算法对城市名称进行升序排序，无论大小写 [2分] <br> • 清晰地显示有序的城市名称，包括正确的顺序和首字母大写 [2分] <br> • 代码清晰简洁，变量名有意义，有注释 [1分] | 程序执行 [5分] <br> • 测试和执行程序。正确计算并得出给定示例的正确答案 [5分] |
| 问题 4 | 10 | 报告 [5分] <br> • 正确实现密码验证规则，包括长度、字母数字组合和最小数字数量 [2分] <br> • 定义一个函数，接受密码作为参数，返回True表示密码有效，False表示无效 [2分] <br> • 代码清晰简洁，变量名有意义，有注释 [1分] | 程序执行 [5分] <br> • 测试和执行程序。正确计算并得出给定示例的正确答案 [5分] |
| 问题 5 | 15 | 报告 [7分] <br> • 正确使用克拉默法则解2×2线性方程组 [2分] <br> • 定义一个函数 `solve_equation()`，带合适的参数（系数、变量和可解标志）和返回类型（void） [2分] <br> • 如果方程有解，显示计算的x和y值；如果没有解，显示相应消息 [2分] <br> • 代码清晰简洁，变量名有意义，有注释 [1分] | 程序执行 [8分] <br> • 测试和执行程序。正确计算并得出给定示例的正确答案 [8分] |
| 问题 6 | 15 | 报告 [7分] <br> • 正确实现未来投资价值公式，包括每月利率和年数的计算和调整 [2分] <br> • 定义一个函数 `futureInvestmentValue()`，带合适的参数（投资额、每月利率和年数）和有意义的返回类型（未来价值） [2分] <br> • 显示表格，包含年数和对应的未来投资价值，格式化表头和小数位数 [2分] <br> • 代码清晰简洁，变量名有意义，有注释 [1分] | 程序执行 [8分] <br> • 测试和执行程序。正确计算并得出给定示例的正确答案 [8分] |
| 问题 7 | 15 | 报告 [9分] <br> • 正确实现平均值和标准差的公式，包括样本偏差的计算和调整 [2分] <br> • 定义两个函数：`mean()` 用于计算平均值，`deviation()` 用于计算标准差，两者带合适的参数（数值数组和大小）和有意义的返回类型 [4分] <br> • 显示计算的平均值和标准差，标签和格式适当 [2分] <br> • 代码清晰简洁，变量名有意义，有注释 [1分] | 程序执行 [6分] <br> • 测试和执行程序。正确计算并得出给定示例的正确答案 [6分] |
| 问题 8 | 15 | 报告 [9分] <br> • 正确实现马尔可夫矩阵的定义，包括检查正元素和列和等于1 [2分] <br> • 定义一个函数 `isMarkovMatrix()`，带合适的参数（矩阵）和有意义的返回类型（布尔值） [4分] <br> • 显示清楚的消息，指示矩阵是否为马尔可夫矩阵 [2分] <br> • 代码清晰简洁，变量名有意义，有注释 [1分] | 程序执行 [6分] <br> • 测试和执行程序。正确计算并得出给定示例的正确答案 [6分] |

### 课程作业结束