【MATLAB稳定性分析实战】：理论+仿真验证，系统稳定性的守护神

# 1. MATLAB稳定性分析基础理论

## 稳定性分析的重要性

在控制系统中，系统的稳定性是衡量其性能的关键指标之一。稳定性意味着系统在受到外部或内部干扰后，能够返回或保持在平衡状态。在工程实践中，确保系统的稳定性至关重要，因为不稳定的系统可能导致性能下降、设备损坏甚至安全事故。

## 系统稳定性的分类

系统稳定性可以分为两大类：内部稳定性和外部稳定性。内部稳定性指的是系统在没有外部输入的情况下保持稳定状态的能力；而外部稳定性则涉及系统在面对外部扰动时维持稳定的能力。理解不同类型的稳定性，对于正确分析和设计控制系统至关重要。

## 稳定性分析的数学基础

稳定性分析的数学基础通常涉及线性代数、微分方程和控制理论。例如，拉普拉斯变换在频域稳定性分析中扮演重要角色，而状态空间方法则用于时域稳定性分析。了解这些数学工具和理论，是运用MATLAB进行稳定性分析的前提。

在下一章中，我们将深入探讨MATLAB提供的工具箱和命令，这些是实现稳定性分析的关键工具。

# 2. MATLAB稳定性分析工具与命令

## 2.1 工具箱介绍

MATLAB提供了丰富的工具箱，以便于用户进行各类工程计算和仿真。在稳定性分析领域，控制系统的工具箱以及符号计算工具箱是不可或缺的。

### 2.1.1 控制系统工具箱

控制系统工具箱提供了大量的函数和图形用户界面(GUI)，用于分析和设计控制系统。它涵盖了从基本的传递函数分析到高级的多变量系统控制设计方法。

% 创建传递函数模型
num = [2 5];
den = [1 3 2];
sys = tf(num, den);

% 分析根轨迹
rlocus(sys);

在上述代码中，我们使用`tf`函数创建了一个简单的传递函数，并使用`rlocus`命令绘制了其根轨迹。这可以帮助工程师快速评估系统在不同增益下的稳定性和动态特性。

### 2.1.2 符号计算工具箱

符号计算工具箱允许用户进行精确的代数运算，包括求解方程、微积分以及符号矩阵运算。这对于稳定性分析中的解析计算特别有用。

% 定义符号变量
syms s
% 创建符号传递函数
num = 2*s + 5;
den = s^2 + 3*s + 2;
sys_sym = num/den;

% 求解极点
poles = pole(sys_sym)

在这段代码中，我们首先定义了符号变量`s`，然后创建了一个符号传递函数。使用`pole`函数，我们可以找到系统的极点，这有助于判断系统是否稳定。

## 2.2 稳定性分析的基本命令

MATLAB提供了多种命令，用于进行稳定性分析，包括根轨迹分析、Bode图和Nyquist图分析、特征值分析等。

### 2.2.1 根轨迹分析

根轨迹是分析系统稳定性的经典方法之一，通过观察系统开环传递函数的极点随增益变化的路径，可以判断闭环系统的稳定性。

% 创建开环传递函数
num = [2 5 1];
den = [1 2 1];
G = tf(num, den);
% 绘制根轨迹
rlocus(G);

### 2.2.2 Bode图和Nyquist图分析

Bode图和Nyquist图分析也是稳定性分析中经常使用的方法。Bode图显示了系统增益和相位随频率变化的曲线，而Nyquist图则用于判断系统稳定性的依据。

% 绘制Bode图
bode(G);
% 绘制Nyquist图
nyquist(G);

### 2.2.3 特征值分析

特征值分析是判断线性时不变系统稳定性的另一种方法。系统矩阵的特征值如果全部位于左半平面，系统就是稳定的。

% 转换传递函数为状态空间模型
sys_ss = ss(G);
% 计算特征值
eigenvalues = eig(sys_ss.A);

## 2.3 命令的高级应用

在控制系统的稳定性分析中，除了标准的命令外，MATLAB也支持高级应用，如自定义稳定性判断和交互式命令的使用。

### 2.3.1 自定义稳定性判断

在MATLAB中，可以编写自定义的函数来分析系统的稳定性，这为复杂的稳定性问题提供了灵活性。

function is_stable = custom_stability_check(sys)
    % 计算所有极点
    poles = pole(sys);
    % 判断所有极点是否在左半平面
    is_stable = all(real(poles) < 0);
end

### 2.3.2 交互式命令的使用

MATLAB支持交互式命令使用，使得用户可以在命令窗口中直接输入命令，进行即时的分析和设计。

% 交互式创建传递函数
sys_inter = tf([1 2 3], [1 3 2]);

% 交互式绘制根轨迹
rlocus(sys_inter);

以上章节内容展示了MATLAB在稳定性分析方面的强大工具箱和命令集，以及如何通过这些工具箱和命令进行系统稳定性分析和设计。这为后续章节中更复杂的仿真实践和进阶应用奠定了坚实的基础。

# 3. MATLAB稳定性分析仿真实践

## 3.1 开环与闭环系统稳定性仿真
### 3.1.1 开环系统稳定性仿真

开环控制系统的特点是没有反馈环节，系统的输出不影响系统的输入。在进行开环系统稳定性仿真时，通常关注系统对于给定输入的响应。MATLAB中可以利用传递函数或状态空间模型来表示开环系统，并通过仿真工具箱中的函数来进行稳定性分析。

例如，以下MATLAB代码表示一个开环系统的传递函数模型，并使用`step`函数仿真系统对阶跃输入的响应：

% 定义开环系统的传递函数
num = [2 5];   % 分子多项式系数
den = [1 3 2]; % 分母多项式系数
sys_OL = tf(num, den); % 创建传递函数模型

% 使用阶跃响应来分析系统的稳定性
figure;
step(sys_OL); % 绘制阶跃响应图
title('开环系统阶跃响应');

% 利用极点分析系统稳定性
poles = pole(sys_OL); % 计算传递函数的极点
disp('开环系统极点：');
disp(poles);

在上述代码中，`tf`函数用于创建传递函数模型`sys_OL`，其分子和分母由`num`和`den`数组定义。通过`step`函数我们可以绘制出系统对阶跃输入的响应，并通过`pole`函数可以获取系统极点。根据系统极点的位置，我们可以判断开环系统的稳定性。对于开环系统，如果所有的极点都位于左半平面（实部为负），则系统是稳定的。

### 3.1.2 闭环系统稳定性仿真

与开环系统不同，闭环系统包括反馈环节。在MATLAB中，我们同样可以使用传递函数或状态空间模型来表示闭环系统，并利用仿真工具箱中的函数来进行稳定性分析。在仿真闭环系统时，主要考虑的是系统的反馈增益如何影响系统性能。

考虑以下MATLAB代码，演示如何构建一个闭环系统的传递函数模型并进行仿真分析：

% 定义闭环系统的前向通道和反馈通道传递函数
num = [1];   % 前向通道分子多项式系数
den = [1 2 1]; % 前向通道分母多项式系数
sys_CL = tf(num, den); % 创建前向通道传递函数模型

K = 10; % 反馈增益

% 定义反馈通道的模型
sys_feedback = feedback(sys_CL, K); % 创建闭环系统模型

% 使用阶跃响应来分析闭环系统的稳定性
figure;
step(sys_feedback); % 绘制阶跃响应图
title('闭环系统阶跃响应');

% 利用极点分析闭环系统的稳定性
poles = pole(sys_feedback); % 计算闭环系统的极点
disp('闭环系统极点：');
disp(poles);

在此示例中，`feedback`函数用于创建闭环系统的模型`sys_feedback`，它根据前向通道的传递函数`sys_CL`和反馈增益`K`来构建。通过`step`函数我们可以绘制出闭环系统对阶跃输入的响应，并通过`pole`函数可以获取闭环系统极点。