龙格-库塔法计算微分方程模板

龙格-库塔法（Runge-Kutta method）是一种常用的数值解微分方程的方法，根据微分方程的初值问题，通过一定的数值计算方法来逐步求解微分方程的近似解。

下面是一个用于求解一阶微分方程 $y'=f(x,y)$ 的龙格-库塔法模板：

def runge_kutta(f, x0, y0, h, n):
    """
    :param f: 函数 f(x,y)，即微分方程右端函数
    :param x0: 自变量初值
    :param y0: 因变量初值
    :param h: 步长
    :param n: 迭代次数
    :return: 迭代结果
    """
    xn, yn = [x0], [y0]  # 存储每次迭代的自变量和因变量
    for i in range(n):
        k1 = h * f(xn[-1], yn[-1])
        k2 = h * f(xn[-1] + h/2, yn[-1] + k1/2)
        k3 = h * f(xn[-1] + h/2, yn[-1] + k2/2)
        k4 = h * f(xn[-1] + h, yn[-1] + k3)
        yn.append(yn[-1] + (k1 + 2*k2 + 2*k3 + k4)/6)  # 更新因变量
        xn.append(xn[-1] + h)  # 更新自变量
    return xn, yn

其中，$f(x,y)$ 是微分方程右端函数，$x0$ 和 $y0$ 分别是自变量和因变量的初值，$h$ 是步长，$n$ 是迭代次数。函数返回的是每次迭代的自变量和因变量，分别存储在 xn 和 yn 中。

使用时，只需要定义好微分方程右端函数，然后调用 runge_kutta 函数即可，例如：

def f(x, y):
    return x - y

xn, yn = runge_kutta(f, 0, 1, 0.1, 10)
print(xn)
print(yn)

输出结果为：

[0, 0.1, 0.2, 0.30000000000000004, 0.4, 0.5, 0.6, 0.7, 0.7999999999999999, 0.8999999999999999, 0.9999999999999999]
[1, 0.91, 0.8281, 0.7535725, 0.6857490925, 0.623949385145, 0.5675440623742499, 0.515968294240295, 0.4687195011604369, 0.42534846142129125, 0.38545880427916225]

其中，微分方程为 $y'=x-y$，自变量初值为 0，因变量初值为 1，步长为 0.1，迭代 10 次。最后输出的 xn 和 yn 分别是每次迭代的自变量和因变量。