python 动态规划算法解决旅行商问题

旅行商问题是一个经典的组合优化问题，它的目的是找到一条路径，使得旅行商可以经过所有城市恰好一次，并且回到起点城市，同时总路程最短。

动态规划算法可以用来解决旅行商问题。具体步骤如下：

1. 首先，我们需要建立一个二维数组dp，其中dp[i][j]表示从起点城市i到当前城市j的最短路径长度。

2. 对于每个城市j，我们需要计算从起点城市到该城市的最短路径长度。假设当前已经走过的城市集合为S，那么从起点城市i到城市j的最短路径长度可以表示为：

dp[i][j] = min(dp[i][k] + dist[k][j]) for k in S

其中dist[k][j]表示城市k到城市j的距离。

3. 对于每个城市j和每个可能的前驱城市集合S，计算dp[i][j]的值，得出从起点城市到所有城市的最短路径长度。

4. 最后，从起点城市开始，依次走过所有城市，使得总路程最短。

下面是代码实现：

import sys

def tsp(n, dist):
    INF = sys.maxsize
    # 初始化dp数组
    dp = [[INF] * n for _ in range(1 << n)]
    dp[1][0] = 0
    
    # 动态规划求解
    for mask in range(1 << n):
        for i in range(n):
            if mask & (1 << i) == 0:
                continue
            for j in range(n):
                if i == j or mask & (1 << j) == 0:
                    continue
                dp[mask][i] = min(dp[mask][i], dp[mask ^ (1 << i)][j] + dist[j][i])
    
    # 计算最短路径长度
    res = INF
    for i in range(n):
        res = min(res, dp[(1 << n) - 1][i] + dist[i][0])
    
    return res

if __name__ == '__main__':
    n = 4
    dist = [[0, 10, 15, 20], [10, 0, 35, 25], [15, 35, 0, 30], [20, 25, 30, 0]]
    print(tsp(n, dist))

在上面的代码中，我们使用了一个二进制掩码mask来表示已经走过的城市集合，其中mask的第i位为1表示已经走过城市i，为0表示未走过城市i。同时，我们使用异或操作符^来将mask中的第i位变为0，表示从i城市出发到达下一个城市。最后，我们使用了一个状态压缩的技巧来减小时间复杂度。