)某工厂生产滚珠,从某日生产的产品中随机地抽取9个,测得直径(mm)如下:14.8,15.3,15.1,14.9,14.8,15.0,15.1,15.2,14.8。设滚珠直径,当时,求直径均值的置信水平为0.95的置信区间.()

由于样本量 n=9，样本均值为 $\bar{X}= 15.0$，我们可以利用 t 分布来估计总体均值 $\mu$ 的置信区间。

首先，我们需要计算样本标准差 $s$：

$$s = \sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_i - \bar{X})^2} = 0.1909$$

然后，我们需要确定 t 分布的自由度。由于置信水平为 0.95，双侧检验，所以 $\alpha = (1-0.95)/2 = 0.025$，自由度为 n-1=8，查表可得 t 分布的临界值为 $t_{\alpha/2}(8) = 2.306$。

最后，我们可以计算出置信区间：

$$\bar{X} - t_{\alpha/2}(8)\frac{s}{\sqrt{n}} < \mu < \bar{X} + t_{\alpha/2}(8)\frac{s}{\sqrt{n}}$$

代入数据得：

$$15.0 - 2.306\frac{0.1909}{\sqrt{9}} < \mu < 15.0 + 2.306\frac{0.1909}{\sqrt{9}}$$

化简后得：

$$14.721 < \mu < 15.279$$

因此，滚珠直径的置信水平为 0.95 的置信区间为 (14.721, 15.279)。

相关问题

某工厂生产滚珠,从某日生产的产品中随机地抽取9个,测得直径(mm)如下:14.8,15.3,15.1,14.9,14.8,15.0,15.1,15.2,14.8。设滚珠直径,当时,求直径均值的置信水平为0.95的置信区间.()

根据中心极限定理，滚珠直径的均值服从正态分布。我们可以利用样本均值和样本标准差来估计总体均值的置信区间，其中置信水平为0.95，自由度为8（样本个数减1）。

样本均值为：

$\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i=\frac{14.8+15.3+15.1+14.9+14.8+15.0+15.1+15.2+14.8}{9}=15.0$

样本标准差为：

$s=\sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2}=\sqrt{\frac{(14.8-15)^2+(15.3-15)^2+(15.1-15)^2+(14.9-15)^2+(14.8-15)^2+(15-15)^2+(15.1-15)^2+(15.2-15)^2+(14.8-15)^2}{8}}\approx0.186$

根据t分布的表格，自由度为8，置信水平为0.95时， t值为2.306。

置信区间为：

$\bar{x}-\frac{t_{\alpha/2}s}{\sqrt{n}}<\mu<\bar{x}+\frac{t_{\alpha/2}s}{\sqrt{n}}$

$15- \frac{2.306 \times 0.186}{\sqrt{9}}<\mu<15+ \frac{2.306 \times 0.186}{\sqrt{9}}$

$14.740<\mu<15.260$

因此，滚珠直径的均值置信区间为(14.740, 15.260)。

有两台机床生产同一型号的滚珠，根据以往经验知，这两台机床生产的滚珠直径都服从正态分布. 现分别从这两台机床生产的滚珠中随机地抽取7个和9个，测得它们的直径如下(单位: mm) 机床甲 15.2 14.5 15.5 14.8 15.1 15.6 14.7 机床乙 15.2 15 14.8 15.2 15 14.9 15.1 14.8 15.3 1)试检验两个总体的方差是否相等? (alpha=0.01)

这是一个方差齐性检验问题，可以使用F检验。

设机床甲的滚珠直径样本为 $X_1$，机床乙的滚珠直径样本为 $X_2$，则样本方差分别为：

$$
s_1^2 = \frac{1}{n_1-1} \sum_{i=1}^{n_1}(X_{1i} - \bar{X_1})^2 = 0.1536 \\
s_2^2 = \frac{1}{n_2-1} \sum_{i=1}^{n_2}(X_{2i} - \bar{X_2})^2 = 0.0231 \\
$$

其中，$n_1=7$，$n_2=9$，$\bar{X_1}$ 和 $\bar{X_2}$ 分别为样本均值。

F检验的零假设为两个总体的方差相等，即 $H_0: \sigma_1^2 = \sigma_2^2$，备择假设为两个总体的方差不相等，即 $H_1: \sigma_1^2 \neq \sigma_2^2$。

计算F值：

$$
F = \frac{s_1^2}{s_2^2} = \frac{0.1536}{0.0231} \approx 6.63
$$

查F分布表可知，在 $\alpha=0.01$ 的显著性水平下，自由度为 $6$ 和 $8$ 时的临界值分别为 $5.15$ 和 $3.38$。

因为 $F > 5.15$，所以拒绝零假设，即在 $\alpha=0.01$ 的显著性水平下，可以认为两个总体的方差不相等。