令问题集合 L = {⟨M⟩|M在所有输入上均停机}。 (1) 利用 Rice 定理证明 L 是不可判定的; (2) 证明 L 是非递归可枚举的(提示:利用归约技术); (3) 证明 L 是非递归可枚举的(提示:利用归约技术)。

好的，我会依次回答你的问题。

首先，我知道你的第一个问题是关于 L = {⟨M⟩|M在所有输入上均停机} 的。现在我来回答你的问题：

(1) 利用 Rice 定理证明 L 是不可判定的：

根据 Rice 定理，对于任何非平凡的性质 P，如果它在某个图灵机上是可判定的，那么在所有图灵机上也是可判定的。

现在我们考虑性质 P，即“图灵机 M 在所有输入上均停机”。显然，这是一个非平凡的性质，因为存在一些图灵机可以停机，而另一些则不行。

接下来，我们假设存在一个图灵机 H 可以判定语言 L = {⟨M⟩|M在所有输入上均停机}。那么我们可以构造另一个图灵机 D：

D = “对于任意输入 x：
1. 如果 x ≠ ⟨M⟩，那么 D 拒绝。
2. 如果 x = ⟨M⟩，那么 D 模拟 H 对 M 进行判定：
a. 如果 H 接受，那么 D 进入死循环。
b. 如果 H 拒绝，那么 D 拒绝。”

现在让我们来分析 D 的行为。如果 M 不是语言 L 中的图灵机，那么 D 会直接拒绝，这是显然的。如果 M 在所有输入上均停机，那么根据定义，⟨M⟩ ∈ L。因此，D 将模拟 H 对 M 进行判定。如果 H 接受，那么 D 将进入死循环，否则 D 将拒绝。

现在假设我们使用 D 来判定 D 自身是否在语言 L 中。我们将 D 的描述作为输入 x 传递给 D。根据上面的分析，如果 D 在所有输入上均停机，那么⟨D⟩ ∈ L。如果 D 不是在所有输入上均停机，那么⟨D⟩ ∉ L。因此，我们可以使用 D 来判定 L，这与 Rice 定理的假设相矛盾。

因此，我们可以得出结论：L = {⟨M⟩|M在所有输入上均停机} 是不可判定的。

(2) 证明 L 是非递归可枚举的：

我们可以使用反证法来证明 L 是非递归可枚举的。假设 L 是递归可枚举的，那么存在一个图灵机 M 可以枚举出 L 中的所有元素。我们可以构造另一个图灵机 D：

D = “对于任意输入 x：
1. 如果 x ≠ ⟨M'⟩，那么 D 拒绝。
2. 如果 x = ⟨M'⟩，那么 D 枚举 L 中的所有元素，并且对于每个元素 ⟨M⟩，D 模拟 M 对自身进行运行：
a. 如果 M 停机并且接受，那么 D 接受。
b. 如果 M 停机并且拒绝，那么 D 继续枚举 L 中的下一个元素。
c. 如果 M 不停机，那么 D 进入死循环。”

现在让我们来分析 D 的行为。如果输入 x 不是 ⟨M'⟩，那么 D 将拒绝。如果输入 x 是 ⟨M'⟩，那么 D 将枚举 L 中的所有元素 ⟨M⟩。对于每个 ⟨M⟩，D 将模拟 M 运行。如果 M 停机并且接受，那么 D 将接受并停机。如果 M 停机并且拒绝，那么 D 将继续枚举 L 中的下一个元素。如果 M 不停机，那么 D 将进入死循环。

现在假设我们使用 D 来判定 D 自身是否在语言 L 中。我们将 D 的描述作为输入 x 传递给 D。根据上面的分析，如果 D 在所有输入上均停机并且接受，那么⟨D⟩ ∈ L。如果 D 在所有输入上均停机并且拒绝，那么⟨D⟩ ∉ L。如果 D 不停机，那么 D 将进入死循环。

我们可以看到，如果 D 在所有输入上均停机并且接受，那么⟨D⟩ ∈ L。因此，我们可以使用 D 来判定 L，这与 L 是不可判定的相矛盾。因此，我们可以得出结论：L 是非递归可枚举的。

(3) 证明 L 是非递归可枚举的：

我们可以使用另外一种方法来证明 L 是非递归可枚举的。我们可以将已知的非递归可枚举语言 A 归约到 L，从而证明 L 是非递归可枚举的。

假设 A 是一个非递归可枚举语言，且其对应的图灵机是 M。我们可以构造一个图灵机 D：

D = “对于任意输入 x：
1. 如果 x ≠ ⟨M'⟩，那么 D 拒绝。
2. 如果 x = ⟨M'⟩，那么 D 模拟 M 对自身进行运行：
a. 如果 M 停机并且接受，那么 D 进入死循环。
b. 如果 M 停机并且拒绝，那么 D 接受。
c. 如果 M 不停机，那么 D 进入死循环。”

现在让我们来分析 D 的行为。如果输入 x 不是 ⟨M'⟩，那么 D 将拒绝。如果输入 x 是 ⟨M'⟩，那么 D 将模拟 M 运行。如果 M 停机并且接受，那么 D 将进入死循环。因此，D 不会停机并且接受任何输入。如果 M 停机并且拒绝，那么 D 将接受。因此，如果⟨M⟩ ∉ L，那么⟨D⟩ ∈ L。如果⟨M⟩ ∈ L，那么 M 在所有输入上均停机。因此，D 将进入死循环，并且不会接受任何输入。因此，如果⟨M⟩ ∈ L，那么⟨D⟩ ∉ L。

因此，我们可以看到，如果 A 是非递归可枚举的，那么我们可以使用归约技术将其归约到 L。因此，L 也是非递归可枚举的。