等价关系和偏序关系的区别
时间: 2024-06-05 15:10:06 浏览: 22
等价关系和偏序关系是两种不同的关系。
等价关系是指在一个集合内,任意两个元素之间存在着等价关系,这个关系必须同时满足自反性、对称性和传递性。举个例子,如果我们定义一个集合为所有人,那么两个人之间的等价关系可以是“年龄相同”,即如果两个人的年龄相同,那么它们之间就存在着等价关系。这个关系具有自反性(每个人的年龄都等于自己的年龄)、对称性(如果 A 的年龄等于 B 的年龄,那么 B 的年龄也等于 A 的年龄)和传递性(如果 A 的年龄等于 B 的年龄,B 的年龄等于 C 的年龄,那么 A 的年龄也等于 C 的年龄)。
偏序关系是指在一个集合内,任意两个元素之间存在着偏序关系,这个关系必须同时满足反自反性、反对称性和传递性。举个例子,如果我们定义一个集合为所有书籍,那么两本书之间的偏序关系可以是“价值高于”,即如果一本书的价值高于另一本书,那么它们之间就存在着偏序关系。这个关系具有反自反性(一本书的价值不可能高于自己)、反对称性(如果一本书的价值高于另一本书,那么另一本书的价值就不可能高于前者)和传递性(如果一本书的价值高于另一本书,另一本书的价值高于第三本书,那么第一本书的价值就高于第三本书)。
相关问题
离散数学第二版第七章二元关系章节的关系的运算,闭包,等价关系与划分,偏序关系的所有详细知识点
二元关系
在集合 $A$ 上定义的二元关系是一个有序对的集合 $R \subseteq A \times A$,通常用 $(a, b) \in R$ 表示 $a$ 和 $b$ 之间存在关系 $R$。
$R$ 的域是 $A$ 的子集 $\operatorname{dom}(R) = \{a \in A | \exists b \in A, (a, b) \in R\}$,$R$ 的值域是 $A$ 的子集 $\operatorname{ran}(R) = \{b \in A | \exists a \in A, (a, b) \in R\}$。若 $\operatorname{dom}(R) = A$,则称 $R$ 是 $A$ 上的全二元关系。
关系的运算
设 $R_1, R_2 \subseteq A \times A$,则以下是几种基本的关系运算:
1. 并集:$R_1 \cup R_2 = \{(a, b) \in A \times A | (a, b) \in R_1 \text{ 或 } (a, b) \in R_2\}$。
2. 交集:$R_1 \cap R_2 = \{(a, b) \in A \times A | (a, b) \in R_1 \text{ 且 } (a, b) \in R_2\}$。
3. 差集:$R_1 - R_2 = \{(a, b) \in A \times A | (a, b) \in R_1 \text{ 且 } (a, b) \notin R_2\}$。
4. 补集:$\overline{R_1} = A \times A - R_1$。
5. 复合:$R_1 \circ R_2 = \{(a, c) \in A \times A | \exists b \in A, (a, b) \in R_1 \text{ 且 } (b, c) \in R_2\}$。
6. 反转:$R_1^{-1} = \{(b, a) \in A \times A | (a, b) \in R_1\}$。
关系的闭包
设 $R$ 是 $A$ 上的二元关系,$R^*$ 是 $R$ 的传递闭包,即 $R^* = \bigcap \{S \subseteq A \times A | R \subseteq S \text{ 且 } S \text{ 是传递的}\}$。其中 $\bigcap$ 表示所有集合的交集。
具体来说,若 $(a, b) \in R^*$,则存在 $n \geq 1$ 和 $a_1, a_2, \cdots, a_n \in A$,使得 $(a, a_1) \in R, (a_1, a_2) \in R, \cdots, (a_n, b) \in R$。
另外,还有以下几种常见的关系闭包:
1. 自反闭包:$R^{\text{refl}} = R \cup \{(a, a) | a \in A\}$。
2. 对称闭包:$R^{\text{symm}} = R \cup R^{-1}$。
3. 传递闭包:$R^{\text{trans}} = R^* = \bigcap \{S \subseteq A \times A | R \subseteq S \text{ 且 } S \text{ 是传递的}\}$。
4. 自反对称闭包:$R^{\text{refl-symm}} = R^{\text{refl}} \cap R^{\text{symm}}$。
等价关系和划分
设 $R$ 是 $A$ 上的二元关系,则称 $R$ 是等价关系,如果它满足以下三个条件:
1. 自反性:$(a, a) \in R$。
2. 对称性:$(a, b) \in R \Rightarrow (b, a) \in R$。
3. 传递性:$(a, b) \in R \text{ 且 } (b, c) \in R \Rightarrow (a, c) \in R$。
等价关系把 $A$ 分成若干个不相交的子集(也称为等价类),每个子集中的元素彼此之间满足 $R$ 关系,而不同子集中的元素之间不存在 $R$ 关系。
设 $a \in A$,则 $[a]_R = \{b \in A | (a, b) \in R\}$ 表示 $a$ 所在的等价类。
划分是指把集合 $A$ 分成若干个不相交的子集,每个子集称为一个划分类,且所有划分类的并集为 $A$。
偏序关系
设 $R$ 是 $A$ 上的二元关系,则称 $R$ 是偏序关系(或部分序关系),如果它满足以下三个条件:
1. 自反性:$(a, a) \in R$。
2. 反对称性:$(a, b) \in R \text{ 且 } (b, a) \in R \Rightarrow a = b$。
3. 传递性:$(a, b) \in R \text{ 且 } (b, c) \in R \Rightarrow (a, c) \in R$。
偏序关系把 $A$ 中的元素分成若干层,每一层中的元素都具有相同的某种属性,但不同层之间的元素之间可能没有任何关系。例如,可以用偏序关系来描述自然数的大小关系。
设 $a, b \in A$,则称 $a$ 在 $b$ 的下面(或 $b$ 在 $a$ 的上面),如果 $(a, b) \in R$。称 $a$ 和 $b$ 是可比较的,如果 $(a, b) \in R$ 或 $(b, a) \in R$,否则称 $a$ 和 $b$ 是不可比较的。
离散数学第2班屈婉玲第七章二元关系有序对与笛卡尔积,二元关系,关系的运算,关系的性质,关系的闭包,等价关系与划分,偏序关系的所有知识点
1. 有序对:由两个元素按照一定的顺序组成的数学对象,通常表示为 (a,b),其中 a 和 b 可以是任意元素。
2. 笛卡尔积:对于两个集合 A 和 B,它们的笛卡尔积 A × B 是由所有形如 (a,b) 的有序对组成的集合,其中 a∈A,b∈B。
3. 二元关系:一个二元关系 R 是指一个集合中的元素对之间的某种规定关系,通常可以表示为 R={(a,b)|aRb}。
4. 关系的运算:包括交、并、差、补、反和复合等运算。交运算得到的是两个关系的公共部分,而并运算则得到两个关系的合并。
5. 关系的性质:包括自反性、对称性、传递性、反自反性、反对称性和反传递性等。例如,对于一个关系 R,如果对于任何元素 a,都有 (a,a)∈R,则称 R 满足自反性。
6. 关系的闭包:对于一个关系 R,它的传递闭包、自反闭包、对称闭包和反对称闭包等都是关系的闭包。例如,关系 R 的自反闭包是一个最小的自反关系,使得 R 包含在其中。
7. 等价关系与划分:等价关系是指一种满足自反性、对称性和传递性的关系。而一个等价关系可以将一个集合分成若干个不相交的等价类,这些等价类构成了一个划分。
8. 偏序关系:对于一个二元关系 R,如果它是自反的、反对称的和传递的,则称 R 是一个偏序关系。例如,集合的包含关系就是一种偏序关系。