南京师范大学实变函数课程试题a卷

南京师范大学实变函数课程试题A卷是一份用于考察学生对实变函数知识掌握的试卷。试卷内容通常涉及实变函数的性质、基本理论和应用等方面。以下是试题A卷的简要回答：

1. 证明函数f(x) = sin(x)在闭区间[0, 2π]上是有界函数。
答：由于sin(x)函数的值域为[-1, 1]，而闭区间[0, 2π]是一个有限区间，因此函数f(x) = sin(x)在该闭区间上是有界的。

2. 给定实变函数f(x) = 2x^2 - 3x + 1，求其极大值和极小值的点及值。
答：首先求导得到f'(x) = 4x - 3。令导数等于0，求得极值点为x = 3/4。将x = 3/4代入原函数，得到极值点为(3/4, -1/8)。因此，在点(3/4, -1/8)处取得极小值-1/8。

3. 判断函数f(x) = e^x + 2x是否存在水平渐近线。
答：若存在水平渐近线，则当x趋向于正无穷或负无穷时，函数f(x)的值趋向于一个有限值a。对于该函数，当x趋向于正无穷时，e^x增长速度远快于2x，因此f(x)没有正无穷的极限值，即不存在水平渐近线。

4. 证明函数f(x) = x^2 - x在闭区间[0,1]上是递增函数。
答：要证明f(x) = x^2 - x在闭区间[0,1]上是递增函数，需要证明对于任意的x1和x2，当x1 < x2时，有f(x1) < f(x2)。计算差值得到f(x2) - f(x1) = (x2^2 - x2) - (x1^2 - x1) = (x2 - x1)(x2 + x1 - 1)。由于闭区间[0,1]上的任意两个数的和差都在[-1,1]范围内，因此x2 + x1 - 1必然大于等于0。而(x2 - x1) >= 0，因此f(x2) - f(x1) >= 0，即f(x)在闭区间[0,1]上是递增函数。

根据试题A卷的要求，以上是对部分试题的简要回答。请注意，由于试题A卷的具体内容没有提供，回答仅为参考。