LQR最优控制的matlab代码

LQR是一种常用的最优控制方法，下面是一个简单的使用matlab实现LQR的例子。

假设我们要控制一个单自由度质点的运动，其状态方程为：

$\dot{x} = Ax + Bu$

其中，$x$为状态向量，$u$为输入向量，$A$为系统矩阵，$B$为输入矩阵。

我们的目标是通过调整输入向量$u$，使得状态向量$x$能够在规定时间内到达某个期望值。LQR通过最小化系统状态$x$与期望状态$x_{ref}$之间的误差，来得到最优的输入向量$u$。

下面是一个使用matlab实现LQR的例子：

% 定义系统矩阵A和输入矩阵B
A = [0 1; -1 0];
B = [0; 1];

% 定义期望状态x_ref
x_ref = [1; 0];

% 定义权重矩阵Q和R
Q = eye(2);
R = 1;

% 使用lqr函数计算最优增益矩阵K
K = lqr(A, B, Q, R);

% 定义初始状态x0
x0 = [0; 0];

% 定义时间段tspan
tspan = 0:0.1:5;

% 定义控制输入u函数
u_func = @(t, x) -K * (x - x_ref);

% 使用ode45函数求解状态方程
[t, x] = ode45(@(t, x) A*x + B*u_func(t, x), tspan, x0);

% 绘制状态曲线和控制输入曲线
plot(t, x(:, 1), 'b', t, x_ref(1)*ones(size(t)), 'r--');
xlabel('Time');
ylabel('State');
title('State Response');

figure;
plot(t, -K * (x - x_ref)', 'b');
xlabel('Time');
ylabel('Control Input');
title('Control Input');

这段代码中，我们首先定义了系统矩阵$A$和输入矩阵$B$，以及期望状态$x_{ref}$和权重矩阵$Q$和$R$。然后使用matlab自带的lqr函数来计算最优增益矩阵$K$。接着，我们定义了初始状态$x_0$和时间段$tspan$，并使用ode45函数来求解状态方程。最后，我们绘制了状态曲线和控制输入曲线。

注意，这只是一个简单的例子，实际应用中需要根据具体情况来选择系统矩阵、输入矩阵、期望状态、权重矩阵等参数。