使用辛方法求解二维热传导问题的非零本征值的本征解
时间: 2023-09-14 10:04:04 浏览: 48
二维热传导问题的数学模型为:
$$\frac{\partial u}{\partial t}=k\left(\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}\right)$$
其中,$u(x,y,t)$ 是温度分布函数,$k$ 是热传导系数。
对于辛方法,我们需要将时间和空间离散化,可以得到以下差分方程:
$$\frac{u_{i,j}^{n+1}-u_{i,j}^n}{\Delta t}=k\left(\frac{u_{i-1,j}^n-2u_{i,j}^n+u_{i+1,j}^n}{\Delta x^2}+\frac{u_{i,j-1}^n-2u_{i,j}^n+u_{i,j+1}^n}{\Delta y^2}\right)$$
其中,$u_{i,j}^n$ 表示在时间步 $n$ 和空间点 $(i,j)$ 处的温度,$\Delta t$ 和 $\Delta x$ 分别为时间步长和空间步长。
我们可以将上述差分方程转换为矩阵形式:
$$A\mathbf{u}^{n+1}=B\mathbf{u}^n$$
其中,$\mathbf{u}^{n+1}$ 和 $\mathbf{u}^n$ 分别表示时间步 $n+1$ 和 $n$ 时刻的温度场向量,$A$ 和 $B$ 是分别与 $\mathbf{u}^{n+1}$ 和 $\mathbf{u}^n$ 相关的矩阵。
接下来,我们可以使用辛迭代方法求解本征值和本征解。具体步骤如下:
1. 构造辛迭代算子 $S=\frac{1}{2}(A^{-1}B)$
2. 对 $S$ 进行特征值分解,得到本征值 $\lambda_i$ 和本征向量 $\mathbf{v}_i$
3. 本征解为 $\mathbf{u}_i=A^{-1}\mathbf{v}_i$
需要注意的是,对于非零本征值,本征解是存在的。但对于零本征值,本征解可能不存在或存在无限多个。此外,需要对辛迭代算子 $S$ 进行特殊处理,以确保本征值是实数。