第2关：扩展的欧几里得算法 300 任务要求 参考答案 重置记录 评论 本关任务： 已知整数a、b`，设计扩展欧几里得算法，如果a和b不互素，输出None；如果a和b互素，输出二者的乘法逆元，注意不限定a和b的大小顺序

扩展的欧几里得算法，也称为中国剩余定理的一种简化形式，用于解决模同余方程组的问题，特别是寻找两个整数的最大公约数及其相对应的贝祖等式解。给定整数a和b，如果它们互质（即最大公约数为1），我们可以利用这个算法找到一个整数x和y，使得ax + by = gcd(a, b) = 1。

对于输入的a和b，首先检查它们是否互素（通常通过辗转相除法计算gcd(a, b)，若结果为1，则它们互质）。如果它们不互素，那么按照数学原理，不存在这样的x和y，此时返回"None"。如果互质，可以应用扩展欧几里得算法求出x和y的具体值，这就是a和b的乘法逆元，即满足 ax ≡ 1 (mod b) 的x。

参考算法步骤如下：
1. 记录初始值：r0 = a, r1 = b, x0 = 1, y0 = 0
2. 当r1 != 0时，执行循环：
- 计算s = r0 // r1, t = x0 - s * x1, u = y0 - s * y1
- 更新r0 = r1, x0 = x1, y0 = y1, r1 = r0 % r1
- 更新x1 = t, y1 = u
3. 当r1 == 0时，停止循环，最后得到的x1就是a对b的逆元。

如果你需要具体的Python代码实现，我可以提供：

def extended_euclidean(a, b):
    if a % b == 0:
        return None
    
    x = 0
    last_x = 1
    y = 1
    last_y = 0
    
    while b != 0:
        quotient = a // b
        temp = a
        a = b
        b = temp % b
        
        temp = x
        x = last_x - quotient * x
        last_x = temp
        
        temp = y
        y = last_y - quotient * y
        last_y = temp
    
    # 返回a的逆元，因为上一次while循环结束后，y最后一次更新的值就是逆元
    return last_y

# 示例：
a = 42
b = 56
inverse = extended_euclidean(a, b)
if inverse is not None:
    print(f"{a}和{b}互素，它们的乘法逆元是 {inverse}")
else:
    print("a和b不互素")