重要反序对问题的代码

重要反序对问题是指在一个数列中，如果一个数对（i,j）满足 i<j 且 A[i]>A[j]，则称其为一个重要反序对。求一个数列中重要反序对的数量。

以下是C++代码实现：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 100010;

int n;
int tr[N];

int lowbit(int x) {
    return x & -x;
}

void add(int x, int c) {
    for (int i = x; i <= n; i += lowbit(i)) tr[i] += c;
}

int sum(int x) {
    int res = 0;
    for (int i = x; i; i -= lowbit(i)) res += tr[i];
    return res;
}

int main() {
    cin >> n;
    int res = 0;
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        int x;
        cin >> x;
        res += i - sum(x);
        add(x, 1);
    }
    cout << res << endl;
    return 0;
}

该算法的时间复杂度为 $O(n\log n)$，主要思路是使用树状数组统计逆序对的数量，具体实现可以看代码中的注释。

相关问题

重要反序对问题 给定一个数组 Data 包含N个元素。如果 0≤ i < j < N 且 Data[i] > 2*Data[j] ，则 (i, j) 称作一个重要反序对。 请返回给定数组中的重要反序对的数量。 输入格式: 用 [、]和 , 分隔表示的数组。如：[1,2,3,4,5] 输出格式: 输出一个整数，表示数组中重要反序对的数量。 输入样例: [1,3,2,3,1] 输出样例: 2 样例说明: 下标对（1,4）,（3,4）是重要反序对 用c语言实现，并逐行解释

以下是C语言实现，代码中有注释解释每一步的操作：

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

// 定义一个全局变量用来记录重要反序对的数量
int count = 0;

// 合并两个子数组
void merge(int arr[], int l, int m, int r)
{
    // 定义两个变量记录左右子数组的下标
    int i, j;

    // 计算左右子数组的长度
    int n1 = m - l + 1;
    int n2 = r - m;

    // 创建临时数组存放左右子数组的元素
    int L[n1], R[n2];

    // 将左右子数组的元素复制到临时数组中
    for (i = 0; i < n1; i++)
        L[i] = arr[l + i];
    for (j = 0; j < n2; j++)
        R[j] = arr[m + 1 + j];

    // 合并左右子数组
    i = 0; // 记录左子数组的下标
    j = 0; // 记录右子数组的下标
    int k = l; // 记录合并后数组的下标
    while (i < n1 && j < n2)
    {
        // 如果左子数组的元素大于右子数组的元素的两倍
        // 那么左子数组中剩余的元素也一定大于右子数组的元素的两倍
        // 因此可以将左子数组中剩余的元素全部与右子数组的当前元素组成重要反序对
        if (L[i] > 2 * R[j])
        {
            count += n1 - i;
            j++;
        }
        else
        {
            i++;
        }
    }

    // 将左右子数组中剩余的元素合并到数组中
    i = 0;
    j = 0;
    while (i < n1 && j < n2)
    {
        if (L[i] <= R[j])
        {
            arr[k] = L[i];
            i++;
        }
        else
        {
            arr[k] = R[j];
            j++;
        }
        k++;
    }

    // 将左子数组中剩余的元素合并到数组中
    while (i < n1)
    {
        arr[k] = L[i];
        i++;
        k++;
    }

    // 将右子数组中剩余的元素合并到数组中
    while (j < n2)
    {
        arr[k] = R[j];
        j++;
        k++;
    }
}

// 归并排序
void mergeSort(int arr[], int l, int r)
{
    if (l < r)
    {
        int m = l + (r - l) / 2;
        mergeSort(arr, l, m);
        mergeSort(arr, m + 1, r);
        merge(arr, l, m, r);
    }
}

int main()
{
    // 定义一个数组用来存储输入的数据
    int arr[1000];

    // 定义一个变量记录数组的长度
    int n = 0;

    // 读入输入的数据，并存储到数组中
    char c;
    while ((c = getchar()) != '\n')
    {
        if (c >= '0' && c <= '9')
        {
            arr[n] = c - '0';
            n++;
        }
    }

    // 对数组进行归并排序
    mergeSort(arr, 0, n - 1);

    // 输出重要反序对的数量
    printf("%d\n", count);

    return 0;
}

算法思路：

1. 对数组进行归并排序，可以在归并排序的过程中统计重要反序对的数量。
2. 归并排序中的合并函数用来将两个有序的子数组合并成一个有序的数组，并统计重要反序对的数量。
3. 在合并过程中，如果发现左子数组中的某个元素大于右子数组中的某个元素的两倍，那么左子数组中剩余的元素也一定大于右子数组中的当前元素的两倍，因此可以将左子数组中剩余的元素全部与右子数组的当前元素组成重要反序对。

用c语言实现，且逐行解释，且用较短时间，在PTA提交时间限制为400 ms重要反序对问题 给定一个数组 Data 包含N个元素。如果 0≤ i < j < N 且 Data[i] > 2*Data[j] ，则 (i, j) 称作一个重要反序对。 请返回给定数组中的重要反序对的数量。 输入格式: 用 [、]和 , 分隔表示的数组。如：[1,2,3,4,5] 输出格式: 输出一个整数，表示数组中重要反序对的数量。 输入样例: [1,3,2,3,1] 输出样例: 2 样例说明: 下标对（1,4）,（3,4）是重要反序对

以下是基于归并排序的 C 代码实现：

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

int merge(int *arr, int *tmp, int left, int mid, int right)
{
    int i = left, j = mid + 1, k = left, count = 0;
    while (i <= mid && j <= right) {
        if (arr[i] > 2 * arr[j]) {
            count += mid - i + 1; //统计逆序对
            j++;
        } else {
            i++;
        }
    }
    i = left, j = mid + 1;
    while (i <= mid && j <= right) {
        if (arr[i] <= arr[j]) {
            tmp[k++] = arr[i++];
        } else {
            tmp[k++] = arr[j++];
        }
    }
    while (i <= mid) tmp[k++] = arr[i++];
    while (j <= right) tmp[k++] = arr[j++];
    for (i = left; i <= right; i++) {
        arr[i] = tmp[i];
    }
    return count;
}

int merge_sort(int *arr, int *tmp, int left, int right)
{
    if (left >= right) return 0;
    int mid = (left + right) / 2;
    int count = merge_sort(arr, tmp, left, mid) + merge_sort(arr, tmp, mid + 1, right) + merge(arr, tmp, left, mid, right);
    return count;
}

int main()
{
    int n = 0;
    scanf("%d", &n);
    int *arr = (int *)malloc(sizeof(int) * n);
    int *tmp = (int *)malloc(sizeof(int) * n);
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        scanf("%d", &arr[i]);
    }
    printf("%d\n", merge_sort(arr, tmp, 0, n - 1));
    free(arr);
    free(tmp);
    return 0;
}

代码中使用归并排序实现，在归并排序的过程中统计逆序对的数量。在归并过程中，当左区间的元素大于右区间元素的两倍时，认为找到了一个重要逆序对，统计逆序对的数量。将所有左右区间合并时，按照升序排列，可以保证不重不漏地统计所有重要逆序对。