令 $a_t$ 为 i.i.d. 标准正态随机变量。假设白噪声序列 (包括 ARMA 模型定义 中的白噪声) 指的是线性不相关的序列; 即白噪声序列的方差不一定为常数。 (a) 考虑一个平稳且有因果关系的自回归条件异方差模型 $(\mathrm{ARCH})$, $$ Z_t=a_t \sqrt{1+0.5 Z_{t-1}^2+0.3 Z_{t-2}^2} $$ $Z_t$ 是否服从一个 ARMA 模型? 令 $X_t=Z_t^2, X_t$ 是否服从一个 ARMA 模型? 请 简述你的理由。（b) 考虑一个平稳且有因果关系的线性 $\mathrm{ARCH}$ 模型, $$ Z_t=a_t\left(1+0.5\left|Z_{t-1}\right|+0.3\left|Z_{t-2}\right|\right) . $$ $Z_t$ 是否服从一个 ARMA 模型? 令 $X_t=\left|Z_t\right|, X_t$ 是否服从一个 ARMA 模型? 请简述你的理由。

(a) 在 $(\mathrm{ARCH})$ 模型中，$Z_t$ 不一定服从 ARMA 模型。因为 ARMA 模型需要满足平稳性和有界自协方差函数，而 $(\mathrm{ARCH})$ 模型中的条件异方差性会使得其自协方差函数不满足有界性。但是，当 $Z_t$ 取较小的值时，$(\mathrm{ARCH})$ 模型会近似于平稳的 ARMA 模型，因此可以使用 ARMA 模型来描述 $Z_t$。对于 $X_t=Z_t^2$，可以将 $(\mathrm{ARCH})$ 模型转化为一个 ARCH(2) 模型，因此 $X_t$ 是一个 ARCH(2) 模型，而不是 ARMA 模型。

(b) 在线性 $(\mathrm{ARCH})$ 模型中，$Z_t$ 不一定服从 ARMA 模型。因为 $(\mathrm{ARCH})$ 模型中的条件异方差性会使得其自协方差函数不满足有界性。对于 $X_t=|Z_t|$，也不一定服从 ARMA 模型。因为 $X_t$ 的均值和方差都是时间相关的，而 ARMA 模型中的均值和方差都是常数。此外，$X_t$ 的自相关系数也不是拖尾的，因为当 $k=1$ 时，$\rho_1$ 不为零，但是当 $k \geq 2$ 时，$\rho_k=0$。因此，$X_t$ 也不是 ARMA 模型。

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令 $a_t$ 为 i.i.d. 标准正态随机变量。假设白噪声序列 (包括 ARMA 模型定义 中的白噪声) 指的是线性不相关的序列; 即白噪声序列的方差不一定为常数。 (a) 考虑一个平稳且有因果关系的自回归条件异方差模型 $(\mathrm{ARCH})$, $$ Z_t=a_t \sqrt{1+0.5 Z_{t-1}^2+0.3 Z_{t-2}^2} $$ $Z_t$ 是否服从一个 ARMA 模型? 令 $X_t=Z_t^2, X_t$ 是否服从一个 ARMA 模型? 请 简述你的理由。

对于一个平稳且有因果关系的自回归条件异方差模型$(ARCH)$，$Z_t=a_t\sqrt{1+0.5Z_{t-1}^2+0.3Z_{t-2}^2}$，其中$a_t$为i.i.d.标准正态随机变量。

我们可以将其转化为下面的形式：
$$
Z_t=\varepsilon_t+\sum_{i=1}^{2}\phi_iZ_{t-i},
$$
其中$\varepsilon_t=a_t\sqrt{1+0.5Z_{t-1}^2+0.3Z_{t-2}^2}-a_t$为误差项。

可以看出，该模型中$Z_t$的取值不仅仅取决于自身的历史取值，还取决于其过去的两个平方项。因此，$Z_t$不满足ARMA模型的条件，因为ARMA模型要求时间序列的取值仅仅取决于自身的历史取值。

对于$X_t=Z_t^2$，我们可以将其表示为$X_t=Z_t^2$。可以看出，$X_t$的取值只取决于$Z_t$的平方项，而与$Z_t$自身的取值无关。因此，$X_t$的取值仅仅取决于自身的历史取值，满足ARMA模型的条件。具体地，$X_t$可以表示为下面的形式：
$$
X_t=\varepsilon_t^2+\sum_{i=1}^{2}\phi_i^2X_{t-i}+\theta_1\varepsilon_{t-1}^2+\theta_2\varepsilon_{t-2}^2+2\theta_1\phi_1X_{t-1}+2\theta_1\phi_2X_{t-2}+2\theta_2\phi_1X_{t-2},
$$
其中$\varepsilon_t=a_t\sqrt{1+0.5Z_{t-1}^2+0.3Z_{t-2}^2}-a_t$为误差项，$\phi_i=\mathrm{cov}(Z_t^2,Z_{t-i}^2)/\mathrm{var}(Z_{t-i}^2)$为自协方差系数。因此，$X_t$满足ARMA模型的条件。

单变量时间序列模型有哪些

单变量时间序列模型主要包括以下几种：

1. AR模型（自回归模型）：该模型假设当前时刻的值与前一时刻的值有关联，即当前值是前一时刻值的线性组合加上一个白噪声误差。AR(p)模型的阶数为p，表示当前值与前p个时刻的值有关。

2. MA模型（移动平均模型）：该模型假设当前时刻的值与前几个时刻的误差有关联，即当前值是前几个时刻的白噪声误差的线性组合。MA(q)模型的阶数为q，表示当前值与前q个时刻的误差有关。

3. ARMA模型（自回归移动平均模型）：该模型是AR模型和MA模型的结合，同时考虑前一时刻的值和前几个时刻的误差对当前时刻的影响。ARMA(p,q)模型的阶数分别为p和q。

4. ARIMA模型（差分自回归移动平均模型）：该模型对ARMA模型进行了差分处理，以消除非平稳性，即对模型的差分项建模。ARIMA(p,d,q)模型的阶数分别为p、d和q，其中d表示差分的阶数。

5. SARIMA模型（季节性ARIMA模型）：该模型在ARIMA模型的基础上加入了季节性因素，以考虑时间序列中存在的周期性变化。SARIMA(p,d,q)(P,D,Q)m模型的阶数分别为p、d和q，其中P、D和Q表示季节性差分的阶数，m表示季节性周期。

6. STL模型（分解趋势、季节性和残差模型）：该模型通过将时间序列分解为趋势、季节性和残差三个部分进行建模，以更好地考虑时间序列的特征。