令 $a_t$ 为 i.i.d. 标准正态随机变量。假设白噪声序列 (包括 ARMA 模型定义 中的白噪声) 指的是线性不相关的序列; 即白噪声序列的方差不一定为常数。 (a) 考虑一个平稳且有因果关系的自回归条件异方差模型 $(\mathrm{ARCH})$, $$ Z_t=a_t \sqrt{1+0.5 Z_{t-1}^2+0.3 Z_{t-2}^2} $$ $Z_t$ 是否服从一个 ARMA 模型? 令 $X_t=Z_t^2, X_t$ 是否服从一个 ARMA 模型? 请 简述你的理由。（b) 考虑一个平稳且有因果关系的线性 $\mathrm{ARCH}$ 模型, $$ Z_t=a_t\left(1+0.5\left|Z_{t-1}\right|+0.3\left|Z_{t-2}\right|\right) . $$ $Z_t$ 是否服从一个 ARMA 模型? 令 $X_t=\left|Z_t\right|, X_t$ 是否服从一个 ARMA 模型? 请简述你的理由。

(a) 在 $(\mathrm{ARCH})$ 模型中，$Z_t$ 不一定服从 ARMA 模型。因为 ARMA 模型需要满足平稳性和有界自协方差函数，而 $(\mathrm{ARCH})$ 模型中的条件异方差性会使得其自协方差函数不满足有界性。但是，当 $Z_t$ 取较小的值时，$(\mathrm{ARCH})$ 模型会近似于平稳的 ARMA 模型，因此可以使用 ARMA 模型来描述 $Z_t$。对于 $X_t=Z_t^2$，可以将 $(\mathrm{ARCH})$ 模型转化为一个 ARCH(2) 模型，因此 $X_t$ 是一个 ARCH(2) 模型，而不是 ARMA 模型。

(b) 在线性 $(\mathrm{ARCH})$ 模型中，$Z_t$ 不一定服从 ARMA 模型。因为 $(\mathrm{ARCH})$ 模型中的条件异方差性会使得其自协方差函数不满足有界性。对于 $X_t=|Z_t|$，也不一定服从 ARMA 模型。因为 $X_t$ 的均值和方差都是时间相关的，而 ARMA 模型中的均值和方差都是常数。此外，$X_t$ 的自相关系数也不是拖尾的，因为当 $k=1$ 时，$\rho_1$ 不为零，但是当 $k \geq 2$ 时，$\rho_k=0$。因此，$X_t$ 也不是 ARMA 模型。