由同一关键字集合构造的各棵二叉搜索树

可以通过卡特兰数进行计算。卡特兰数是一种组合数学中的数列，用来描述由 0 和 1 组成的序列中，满足特定条件的序列个数。在计算由同一关键字集合构造的各棵二叉搜索树时，可以利用卡特兰数的公式进行计算。假设有 n 个关键字，则可以计算出由这 n 个关键字构成的二叉搜索树的数量为：

C(2n, n)/(n+1)

其中 C(2n, n) 表示 2n 个节点的二叉搜索树的数量，n+1 表示每棵二叉搜索树的节点数量。

相关问题

由同一关键字集合构造的各棵二叉搜索树其形态和平均查找长度相同吗

不同形态的二叉搜索树在查找时的平均查找长度是不同的。即使它们由相同的关键字集合构造而成，这些二叉搜索树的形态差异也会导致它们的平均查找长度不同。具体来说，平均查找长度取决于每个关键字在树中的位置，而树的形态则决定了每个关键字在树中的位置。因此，即使是由同一关键字集合构造的各棵二叉搜索树，只要它们的形态不同，它们的平均查找长度也会不同。

7-1 是否同一棵二叉搜索树 (34 分)

### 回答1：
题目描述：

给定两个整数序列，分别表示两棵二叉搜索树的中序遍历序列，判断这两棵二叉搜索树是否同一棵。

解题思路：

二叉搜索树的中序遍历序列是有序的，因此我们可以将两个序列排序后比较是否相等。如果相等，则说明两棵二叉搜索树相同。

代码实现：

bool isSameBST(vector<int>& seq1, vector<int>& seq2) {
    if (seq1.size() != seq2.size()) {
        return false;
    }
    sort(seq1.begin(), seq1.end());
    sort(seq2.begin(), seq2.end());
    return seq1 == seq2;
}

时间复杂度：$O(nlogn)$

空间复杂度：$O(n)$

其中，$n$ 表示二叉搜索树中节点的个数。

### 回答2：
题目描述：

给定两个长度相等的整型数组，判断它们是否对应同一棵二叉搜索树的后序遍历序列。

解题思路：

本题的难点在于如何判断两个数组是否对应同一棵二叉搜索树的后序遍历序列。

首先，我们知道二叉搜索树的后序遍历序列的最后一个元素为根节点，而且比根节点小的元素在左子树中，比根节点大的元素在右子树中。

因此，我们可以将数组前面的元素分为左子树和右子树两个部分，然后在子树中递归检查，直到只剩下一个元素为止。

具体实现上，我们可以先找到根节点，然后将数组根据根节点分为左右两个子数组，再递归检查左右子树是否对应同一棵二叉搜索树的后序遍历序列。

如果左右子树都满足条件，那么说明整个数组对应同一棵二叉搜索树的后序遍历序列，否则不是。

Code:

### 回答3：
题目描述：

给定两个长度为n的数组，按照给定的顺序插入到一棵空的二叉搜索树中，判断两个数组是否最终构建了同一棵二叉搜索树。

思路分析：

本题是一道典型的二叉搜索树的应用题，题目要求我们判断两个经过插入操作后最终构建的树是否相等。

首先回顾一下二叉搜索树的特点：对于一个二叉搜索树，它的左子树中的所有节点的值都小于根节点的值，而它右子树中的所有节点的值都大于根节点的值。

对于这个问题来说，我们可以在构建二叉搜索树的同时统计每个节点的左子树大小来判断两棵树是否相同。

具体来说，对于每个节点，我们可以统计它左子树中的节点数目，然后每插入一个节点就更新一遍。当构建完毕后，每个节点的左子树大小就都已经确定了。然后判断两个构建好的树中所有节点的左子树大小是否都一一对应即可。

代码实现：

为了方便起见，我们可以先实现一个二叉搜索树的插入操作，然后再利用这个代码来对两个输入排序数组进行构建。

//二叉搜索树结构体
struct TreeNode {
int val;
int left_size;//记录左子树大小的变量
TreeNode *left;
TreeNode *right;
TreeNode(int x) : val(x), left_size(0), left(NULL), right(NULL) {}
};

TreeNode* insert(TreeNode* root, int val){
if(!root) return new TreeNode(val);
if(val < root->val){
root->left = insert(root->left, val);
++root->left_size;//更新左子树大小
}
else root->right = insert(root->right, val);
return root;
}

然后我们在主函数中对两个输入数组进行插入操作，之后再进行比较即可。

bool isSameTree(vector<int>& nums1, vector<int>& nums2) {
if(nums1.size() != nums2.size()) return false;
TreeNode* root1 = nullptr;//第一棵树的根节点
TreeNode* root2 = nullptr;//第二棵树的根节点
for(int i=0; i<nums1.size(); ++i){
root1 = insert(root1, nums1[i]);
root2 = insert(root2, nums2[i]);
}
function<bool(TreeNode*, TreeNode*)> dfs = [&](TreeNode* node1, TreeNode* node2){
if(node1 == nullptr && node2 == nullptr) return true;
else if(node1 == nullptr || node2 == nullptr) return false;
else if(node1->val != node2->val || node1->left_size != node2->left_size) return false;
else return dfs(node1->left, node2->left) && dfs(node1->right, node2->right);
};
return dfs(root1, root2);
}

时间复杂度：插入节点的时间复杂度是O(logn)，所以整体时间复杂度是O(nlogn)。

空间复杂度：树的深度最大为O(n)，所以空间复杂度也是O(n)。

参考链接：

https://leetcode-cn.com/problems/same-tree/description/

https://leetcode-cn.com/problems/two-sum-iv-input-is-a-bst/description/