给定的 MA(1) 序列为： X_t = \varepsilon_t + 0.9 \varepsilon_{t-1}, \quad \varepsilon_t \sim WN(0, \sigma^2) 用R计算偏相关系数 a_{1,1}, a_{2,2}, a_{3,3}。

在给定的线性自回归移动平均模型 (MA(1)) 中，序列 \( X_t \) 可以表示为误差项 \( \varepsilon_t \) 的函数加上过去误差的影响。模型中提到 \( \varepsilon_t \) 是广义威利茨分布 (WN)，即独立同分布的正态随机变量，均值为 0，方差为 \( \sigma^2 \)。

偏相关系数 \( a_{ij} \) 描述的是 \( X_i \) 和 \( X_j \) 之间的偏自相关，当排除了所有其他时间点的影响之后的相互关联程度。对于 MA(1) 模型，由于只涉及当前误差 \( \varepsilon_t \) 和上一时刻误差 \( \varepsilon_{t-1} \) 的线性组合，\( a_{ij} \) 只有在 \( i=j \) 的情况有意义。

在这个模型中，我们关心的是 \( a_{1,1} \), \( a_{2,2} \), 和 \( a_{3,3} \)，它们分别代表：

1. \( a_{1,1} \): 这是 \( X_1 \) 与自身的偏自相关，因为在 MA(1) 中 \( X_t \) 只依赖于 \( \varepsilon_t \)，所以 \( a_{1,1} = 0 \)。
2. \( a_{2,2} \) 或 \( a_{3,3} \): 因为序列是按时间顺序递增的，从第二个起每个 \( X_t \) 都包括 \( \varepsilon_{t-1} \)，这相当于包含了 \( a_{1,1} \) 的影响，所以 \( a_{2,2} = a_{3,3} = 0.9 \)（因为模型给出了 \( X_t = 0.9\varepsilon_{t-1} + \varepsilon_t \)）。

在 R 语言中，计算这些偏自相关通常不是直接的，因为我们不需要手动计算，而是可以直接使用 `arima()` 函数来分析这种类型的序列，并获取模型参数，其中包括 \( \phi_1 \) （AR部分的系数），如果有的话。不过在这里，由于这是纯理论上的 MA(1) 模型，我们知道 \( \phi_1 = 0.9 \)，而偏自相关就是 \( \phi_1 \)。

如果你想要模拟并计算相关系数，可以使用如下的 R 代码：

# 定义参数
sigma2 <- 30 # 生成一些数据

# 创建序列
eps <- rnorm(n, 0, sqrt(sigma2))
X <- arima.sim(list(order = c(0,0,1), ma = 0.9), n = n)

# 由于在 MA(1) 中 a_{i,i} 等于 phi1, 直接输出 0.9
a_11 <- a_22 <- a_33 <- 0.9

这里 `a_11`, `a_22`, 和 `a_33` 实际上都是指代 \( \phi_1 \)，因为 \( X_t \) 对自身和其他后续时间点的影响都被 \( \varepsilon_{t-1} \) 所包含。