matlab logistic

### MATLAB Logistic Function Usage

Logistic回归中的假设函数定义为特定形式的概率估计[^1]。在MATLAB中实现逻辑斯谛回归时，通常会涉及到计算梯度以及可能的Hessian矩阵来优化参数θ。

对于给定的数据集\(X\)和目标变量\(y\)，可以通过下面的方式计算梯度：

grad = (X' * (sigmoid(X*theta) - y)) / m;

这里`m`代表训练实例的数量；`X`是特征变量组成的矩阵；而`y`则是对应的标签向量[^2]。

为了更好地理解如何使用MATLAB来进行logistic回归分析，考虑一个简单的例子，在这个例子中将创建一些合成数据并拟合一个二分类模型。

#### 创建合成数据

首先生成一组用于演示目的的人工数据点：

% 设置随机种子以便重复实验结果
rng(0);

% 定义正负类别的均值向量
mu_pos = [1, 2];
mu_neg = [-1, -1];

% 协方差矩阵相同
Sigma = eye(2); 

% 正类别样本数量
nPositives = 50;

% 负类别样本数量  
NNegatives = 50;

% 使用mvnrnd() 函数从多元高斯分布抽样得到两类数据
positives = mvnrnd(mu_pos', Sigma, nPositives);
negatives = mvnrnd(mu_neg', Sigma, NNegatives);

% 合并成完整的数据集
data = [positives; negatives]; 
labels = [ones(nPositives, 1); zeros(NNegatives, 1)];

#### 训练Logistic Regression Model

接下来利用上述数据训练一个逻辑斯蒂回归模型:

function [J, grad] = costFunction(theta, X, y)
    % COSTFUNCTION Compute cost and gradient for logistic regression
    
    m = length(y); % number of training examples
    
    h = sigmoid(X * theta);
    
    J = (-1/m)*sum((y .* log(h)) + ((1-y).*log(1-h)));
    
    grad = (1/m)*(X'*(h-y));
end


% 添加偏置项列到输入特性矩阵
[m, ~] = size(data);
X = [ones(m, 1), data];

initial_theta = zeros(size(X, 2), 1);

% 进行最优化求解
options = optimset('GradObj', 'on', 'MaxIter', 400);
[theta, cost] = fminunc(@(t)(costFunction(t, X, labels)), initial_theta, options);

此代码片段展示了如何构建成本函数及其导数，并通过调用`fminunc()`找到最优参数\[ \theta\][^3]。