运筹学线性规划问题matlab

### MATLAB 中求解线性规划问题

#### 使用 `linprog` 函数求解线性规划问题

MATLAB 提供了内置函数 `linprog` 来解决线性规划 (LP) 问题。该函数可以处理标准形式的 LP 问题，即最小化目标函数 \( c'x \)，使得满足约束条件 \( A\cdot x \leq b, Aeq\cdot x = beq \), 并且变量有下界 lb 和上界 ub。

f = [-5; -4; -6]; % 目标函数系数向量
A = [1 -1  1;
     3  2  4;
    -4  0  2];
b = [20; 42; 30]; % 不等式约束右侧常数项
lb = zeros(3,1);  % 变量的下限
[x,fval] = linprog(f,A,b,[],[],lb,[]);
disp('最优解:');
disp(x);
disp('最大值:');
disp(-fval);

上述代码展示了如何定义并解决问题实例[^2]。这里的目标是最小化成本函数 `-c'*x` 而不是最大化它；因此，在显示最终结果时取负号得到实际的最大利润值。

#### 构建和解释模型

为了更好地理解这个过程，考虑一个简单的生产计划案例研究：

假设一家工厂制造三种产品 P1、P2 和 P3。每种产品的单位利润分别为 $5$、$4$ 和 $6$ 美元。由于资源有限，每天可用的工作时间不超过 20 小时，原材料供应也不超过一定数量。这些限制可以通过矩阵 A 表达出来，并通过向量 b 给定具体的数值范围。此外，还设定了所有决策变量都应是非负的要求，这由 lb 参数指定为零向量表示。

#### 进一步优化技巧

当面对更复杂的情况时，比如存在整数或混合整数需求的情况下，则需采用专门设计的方法如分支定界法或其他启发式算法来寻找全局最优解。然而，对于大多数常规线性规划任务来说，利用现成工具箱里的功能已经足够强大并且易于操作了[^3]。