分别用列主元Gauss消元法,Gauss-Seidel迭代方法求线性方程组的解, Gauss-Seidel方法要求有4位有效数字 使用c++编写

Gauss消元法和Gauss-Seidel迭代方法都是求解线性方程组的有效算法。

**Gauss消元法**（也称为高斯消元法或行主元高斯消元法）是一种基于矩阵操作的经典数值计算技术。首先，它通过一系列行初等变换将增广矩阵（系数矩阵加上常数项向量）转换成阶梯形或简化行阶梯形矩阵。然后通过回代步骤，从最后一行开始逐个计算出未知数的值。这种方法适用于小型到中型规模的线性系统，但对于大型矩阵，由于需要存储和交换大量的元素，可能会消耗大量内存。

**Gauss-Seidel迭代方法**则是一种迭代方法，它按顺序对每个变量进行更新，先假定其它变量已经取到了当前的近似值。每次迭代中，它仅考虑前面已知的值来更新下一个未知数。这个过程会一直持续到达到预设精度或达到特定的迭代次数。Gauss-Seidel方法通常适用于大型稀疏矩阵，因为它不需要存储完整的矩阵，而是处理部分数据。

要在C++中使用4位有效数字的Gauss-Seidel方法，你需要：

1. 定义一个结构体表示四舍五入后的浮点数，并实现必要的运算符重载。
2. 创建一个迭代函数，接受矩阵、右端向量以及所需的精度作为输入。
3. 在循环中，依次对每个未知数应用Gauss-Seidel公式，并检查是否满足精度要求。

下面是一个简化的伪代码示例：

#include <iostream>
// 四位有效数字的浮点数类
class FourDigitFloat {
    //...
};

void gauss_seidel(const std::vector<FourDigitFloat>& A, 
                  std::vector<FourDigitFloat>& b, 
                  FourDigitFloat& tolerance) {
    int n = A.size();
    for (int i = 0; i < n; ++i) { // 按列进行迭代
        for (int j = i + 1; j < n; ++j) {
            // 对角线元素保留，非对角线元素四舍五入
            b[i] -= A[i][j] * FourDigitFloat(b[j]);
        }
        // 更新并检查精度
        if (std::abs(FourDigitFloat(b[i])) < tolerance)
            break;
        b[i] /= A[i][i];
    }
}