matlab 曲线拟合最小二乘

### 使用MATLAB中的最小二乘法进行曲线拟合

#### 理论基础
最小二乘法是一种用于估计最佳函数匹配的技术，其核心在于通过最小化观测值与模型预测值之间差异的平方和来找到最优参数组合[^2]。

#### 实现方式之一：编写自定义代码
对于给定的数据集，在MATLAB环境下可以通过编程的方式手动实现这一过程。下面给出一段简单的示例程序，该程序旨在利用最小二乘原理对一组二维散点执行线性回归分析：

% 假设已知一些离散点(x,y)，尝试找出最接近这些点的一条直线y=ax+b
clear;clc;
x=[0,1,2,3,4]; % 输入横坐标向量
y=[-1,-0.75,-0.5,-0.25,0]; % 对应纵坐标向量

% 构建设计矩阵A
n=length(x);
X=[ones(n,1),x']; % 添加偏置项列构成增广特征空间
Y=y';             % 转置目标变量成为列向量形式

% 计算权重w=(XT*X)^(-1)*XT*Y
W=inv(X'*X)*(X')*Y;

disp(['斜率a=' num2str(W(2))]);
disp(['截距b=' num2str(W(1))]);

plot(x,Y,'o'); hold on;
fitted_line=@(t) W(2)*t+W(1); 
ezplot(fitted_line,[min(x)-1,max(x)+1]); legend('原始数据','拟合直线');
title('基于最小二乘法的简单线性回归')
xlabel('输入变量 X'), ylabel('输出变量 Y');
grid minor;

此段脚本首先准备好了样本集合`{xi,yi}`，接着创建了一个包含常数项在内的扩展属性表征体系，并借助于正规方程求解出了使得残差平方和达到极小化的参数估值\[ w \][^1]。

#### 利用内置工具——Curve Fitting Toolbox (cftool)
除了自行编码外，MATLAB还提供了图形界面友好的专用模块——curve fitting toolbox(cftool)[^3]，能够方便快捷地完成各种类型的数值逼近任务。启动命令窗口并键入"cftool"即可打开交互式的环境；随后按照提示导入待处理文件、挑选合适的基底函数族以及调整其他选项直至获得满意的效果为止。