倒立摆MATLAB仿真

倒立摆系统是一个经典的控制系统问题，常用于测试和验证控制算法的有效性。MATLAB作为一种强大的数值计算和仿真工具，广泛应用于倒立摆系统的建模和控制算法设计。

### 倒立摆系统简介
倒立摆系统由一个摆和一个移动的基座组成。摆可以通过基座的移动来保持直立状态。倒立摆系统是一个典型的非线性、不稳定系统，控制目标是通过控制基座的运动，使摆保持直立。

### 倒立摆系统的数学模型
倒立摆系统的动力学方程可以通过拉格朗日方程或牛顿-欧拉方程推导。常用的倒立摆模型包括单摆和双摆模型。以下是一个单摆模型的简化动力学方程：

\[ (I + mL^2)\ddot{\theta} + mL\ddot{x}\cos(\theta) - \( L \) 是摆的长度
- \( \theta \) 是摆的角度
- \( x \) 是基座的位置
- \( g \) 是重力加速度

### MATLAB仿真步骤
1. **定义系统参数**：包括摆的质量、长度、重力加速度等。
2. **建立动力学方程**：根据上述动力学方程，建立系统的状态空间模型。
3. **设计控制器**：常用的控制器包括PID控制器、LQR控制器等。
4. **仿真与验证**：使用MATLAB的Simulink工具进行仿真，观察系统的响应。

### 示例代码
以下是一个简单的MATLAB代码示例，用于建立单摆系统的状态空间模型并设计一个LQR控制器：

% 定义系统参数
m = 1;  % 摆的质量
M = 5;  % 基座的质量
L = 2;  % 摆的长度
g = 9.81;  % 重力加速度
I = m*L^2/3;  % 摆的转动惯量

% 状态空间模型
A = [0 1 0 0;
     0 0 -m*g/M 0;
     0 0 0 1;
     0 0 (m*g*(M+m))/(I*M + m*M*L^2) 0];
B = [0;
     1/M;
     0;
     -1/(I + m*L^2)];
C = [1 0 0 0;
     0 0 1 0];
D = [0;
     0];

% 设计LQR控制器
Q = diag([10 1 10 1]);
R = 0.01;
[K, S, e] = lqr(A, B, Q, R);

% 状态反馈
A_cl = A - B*K;
B_cl = B;
C_cl = C;
D_cl = D;

% 仿真时间
t = 0:0.01:10;

% 初始状态
x0 = [0.1; 0; 0.1; 0];

% 仿真
sys_cl = ss(A_cl, B_cl, C_cl, D_cl);
[y, t, x] = initial(sys_cl, x0, t);

% 绘图
figure;
subplot(2,1,1);
plot(t, x(:,1));
title('位置响应');
xlabel('时间 (s)');
ylabel('位置 (m)');

subplot(2,1,2);
plot(t, x(:,3));
title('角度响应');
xlabel('时间 (s)');
ylabel('角度 (rad)');

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