斐波那契数列 最优算法

斐波那契数列是一个经典的数学问题，有多种求解算法。其中最优的算法是使用矩阵快速幂算法。

斐波那契数列的通项公式是 F(n) = (1/sqrt(5)) * (((1+sqrt(5))/2)^n - ((1-sqrt(5))/2)^n)。

利用矩阵快速幂算法可以将该公式转化为一个矩阵乘法的形式，从而提高计算效率。具体步骤如下：

1. 定义一个2x2的矩阵 A = [[1, 1], [1, 0]]，以及一个2x1的向量 F0 = [, ]。

2. 根据通项公式，我们有 F(n) = A^n * F0，其中 A^n 表示矩阵 A 的 n 次方。

3. 使用矩阵快速幂算法来计算 A^n，可以将 n 表示为二进制形式的数。具体步骤如下：
- 初始化一个2x2的单位矩阵 B = [[1, 0], [0, 1]]，以及一个临时矩阵 C = A。
- 将 n 表示为二进制形式，从高位到低位依次处理。
- 如果当前位为1，则将 B 与 C 相乘并赋值给 B，即 B = B * C。
- 将 C 平方，并赋值给 C，即 C = C * C。
- 将 n 右移一位，即 n = n >> 1。
- 重复上述步骤直到 n 右移为0。
- 最终 B 的值就是 A^n。

4. 计算 A^n * F0，即可得到斐波那契数列的第 n 项 F(n)。

通过矩阵快速幂算法，可以将斐波那契数列的计算复杂度从 O(n) 降低到 O(logn)，大大提高了计算效率。