频率抽样法 fir 滤波器的幅频特性

### 频率抽样法设计的FIR滤波器幅频特性分析

频率抽样法是一种用于设计有限脉冲响应(FIR)滤波器的技术，在该方法中，通过指定离散频率点上的期望频率响应来定义滤波器的行为。这种方法特别适用于希望精确控制某些特定频率处增益的应用场景。

对于采用频率抽样法设计的FIR滤波器而言，其幅频特性主要取决于两个因素：

1. **采样的频率点位置**：这些点决定了哪些频率会被优先考虑以及它们对应的理想幅度值是多少。通常情况下，会在通带和阻带上均匀分布若干个样本点，并设置相应的目标增益（例如0dB表示无衰减）。为了确保良好的过渡带表现，往往还需要额外加入一些位于边界附近的辅助样本[^1]。

2. **窗函数的选择**：由于实际物理系统的限制，不可能完全达到理想的矩形形状的理想低通/高通等特性曲线；因此引入了不同类型的加权窗口以改善近似效果。常见的有汉宁窗(Hann Window)，海明窗(Hamming Window)等等。不同的窗户会对最终形成的旁瓣高度和平坦度造成影响，从而改变整体的幅频特征[^3]。

值得注意的是，线性相位条件确实会给频率采样法带来一定的约束。具体来说，为了保持严格的线性相位关系，必须使得单位脉冲响应h(n)关于中心对称或反对称排列。这意呸着如果想要获得更好的选择性和更窄的过渡区域，则可能需要增加更多的零极点数目即提高滤波器阶数，进而增加了计算复杂度与硬件成本[^2]。

此外，当利用频率抽样法构建具有严格线性相位特性的FIR滤波器时，可能会遇到难以满足非常陡峭的要求的情况，因为此时不仅需要调整各个独立频率分量之间的相对强度，还要维持整个传递函数在整个工作范围内的一致延迟属性。不过，尽管存在上述挑战，但这并不意味着无法使用此技术创建高性能的滤波装置—只需合理规划参数配置即可克服这些问题[^4]。

下面给出一段简单的Matlab代码片段用来展示如何基于给定的数据集绘制出一个基本版本的频率响应图形:

% 定义所需变量
N = 64; % 设计长度为 N 的 FIR 滤波器
Fs = 2*pi;
f = linspace(-pi, pi, 512); 

% 创建理想 LPF 响应 (假设截止频率 wc=π/4)
Hd = ideal_lpf(f, Fs);

% 对 Hd 进行 IDFT 得到 h[n], 再做 DFT 获得 H(e^jw)
hd = idft(Hd);
H = dft(hd);

figure();
plot(f/(2*pi), abs(fftshift(H)));
title('Frequency Response of Designed Filter');
xlabel('Normalized Frequency (\times\pi rad/sample)');
ylabel('|H(\omega)|');
grid on;

function y = ideal_lpf(w,Fs)
    w_c = pi / 4 ; % Cutoff frequency normalized to Nyquist rate.
    y = double(abs(w)<w_c)*exp(-1i*w*(length(w)-1)/2);
end