如何在Python中实现梯度下降法以优化线性回归模型，并通过黄金分割法自适应地调整学习率？请提供详细的代码示例。

梯度下降法是一种求解无约束优化问题的常用算法，在线性回归等机器学习模型的参数优化中尤为常见。为了使算法能够有效地工作，需要正确设置学习率、迭代次数以及目标函数，同时考虑到算法可能收敛到局部最小值而非全局最小值的问题。在Python中实现梯度下降法，可以采用以下步骤和代码示例进行指导：

参考资源链接：[Python实现梯度下降法：多维无约束极值优化与可视化](https://wenku.csdn.net/doc/645307f3ea0840391e76c6ce?spm=1055.2569.3001.10343)

首先，定义目标函数，例如线性回归模型的损失函数（如均方误差MSE）：

import numpy as np

def mean_squared_error(y_true, y_pred):
    return np.mean((y_true - y_pred)**2)

其次，计算损失函数关于参数的梯度。在最简单的一维线性回归中，梯度计算如下：

def gradient_mse(y_true, y_pred, X):
    return -2 * X.T.dot(y_true - y_pred) / len(y_true)

接下来，实现梯度下降算法的主体，其中包括自适应学习率的调整：

def gradient_descent(X, y_true, learning_rate=0.01, max_iter=1000, precision=1e-6):
    weights = np.zeros(X.shape[1])
    for _ in range(max_iter):
        y_pred = X.dot(weights)
        grad = gradient_mse(y_true, y_pred, X)
        
        # 自适应调整学习率
        alpha = learning_rate
        while True:
            y_pred_alpha = X.dot(weights - alpha * grad)
            new_loss = mean_squared_error(y_true, y_pred_alpha)
            if new_loss < mean_squared_error(y_true, y_pred):
                weights -= alpha * grad
                break
            else:
                alpha *= 0.5  # 通过二分法调整学习率
        
        # 检查收敛性
        if np.linalg.norm(grad) < precision:
            break
            
    return weights

在这个实现中，我们使用了一个简单的二分搜索方法来调整学习率，直到找到能使损失函数减小的学习率为止。这个方法模拟了黄金分割法的思想，但更适用于梯度下降的上下文。

最后，你需要有一个数据集，以及对应的特征矩阵`X`和目标向量`y_true`来进行实际的参数优化。

通过上述代码，你可以在Python中实现一个基本的梯度下降法，用于优化线性回归模型的参数，并且通过自适应学习率的调整来提高收敛速度和稳定性。该方法在凸优化问题上表现良好，但需要警惕非凸问题可能导致的局部最小值问题。为了更深入地理解和掌握这一概念，建议阅读《Python实现梯度下降法：多维无约束极值优化与可视化》一书，其中包含了详细的理论背景和代码示例，有助于你全面理解梯度下降法的实现和优化。

参考资源链接：[Python实现梯度下降法：多维无约束极值优化与可视化](https://wenku.csdn.net/doc/645307f3ea0840391e76c6ce?spm=1055.2569.3001.10343)