用 MATLAB 迭代法求解方程x³- 3x-1=0在x=2附近根的代码

在MATLAB中，我们可以使用迭代法如牛顿法(也称为牛顿-拉夫逊法)来近似求解非线性方程。这里是一个简单的例子，它说明了如何在x=2附近找到函数f(x)=x^3 - 3x - 1的零点：

% 定义函数f(x)
function f = cubic_function(x)
    f = x^3 - 3*x - 1;
end

% 设置初始猜测值
x_initial = 2;

% 设置迭代精度和最大迭代次数
tol = 1e-6; % 精度阈值
max_iter = 100; % 最大迭代次数

% 牛顿法迭代
for iter = 1:max_iter
    % 计算导数f'(x)
    dfdx = @(x) diff(cubic_function(x), 1);
    
    % 使用牛顿迭代公式
    x_new = x_initial - cubic_function(x_initial) / dfdx(x_initial);
    
    % 检查是否达到精度要求或达到最大迭代次数
    if abs(x_new - x_initial) < tol
        break; % 如果满足条件则退出循环
    end
    
    % 更新当前值
    x_initial = x_new;
end

% 输出结果
fprintf('The root of the equation is approximately x = %.4f\n', x_new);

% 相关问题:
1. 牛顿法需要函数的二阶导数信息，如果函数没有解析形式怎么办？
2. 如何确定迭代步骤的数量？
3. 如果迭代过程中函数值变为正值，可能是什么原因导致的？

这个代码首先定义了一个函数`cubic_function`，然后通过牛顿迭代逐步逼近方程的根。当新的估计值与旧值之间的差小于预设的精度时，停止迭代并输出结果。