某型号的金属切割机正常工作时,切割的金属棒的长度服从正态分布。现从一批切割的金属棒中随机抽取15根,测得长度如下:105,98,102,100,103,97,102,105,112,99,103,102,94,100,95,试对总体的均值进行区间估计
时间: 2024-06-13 19:08:32 浏览: 11
根据中心极限定理,样本均值的分布近似于正态分布,且均值为总体均值,标准差为总体标准差除以样本量的平方根。因此,可以使用样本均值和样本标准差来估计总体均值的置信区间。
样本均值为:
$$\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i=\frac{1}{15}(105+98+102+100+103+97+102+105+112+99+103+102+94+100+95)=100.2$$
样本标准差为:
$$s=\sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2}=\sqrt{\frac{1}{14}[(105-100.2)^2+(98-100.2)^2+(102-100.2)^2+(100-100.2)^2+(103-100.2)^2+(97-100.2)^2+(102-100.2)^2+(105-100.2)^2+(112-100.2)^2+(99-100.2)^2+(103-100.2)^2+(102-100.2)^2+(94-100.2)^2+(100-100.2)^2+(95-100.2)^2]}=3.34$$
根据正态分布的性质,总体均值的置信区间为:
$$(\bar{x}-z_{\alpha/2}\frac{s}{\sqrt{n}},\bar{x}+z_{\alpha/2}\frac{s}{\sqrt{n}})$$
其中,$z_{\alpha/2}$为标准正态分布的分位数,$\alpha$为显著性水平,一般取0.05,对应的$z_{\alpha/2}$为1.96。
代入数据,得到总体均值的置信区间为:
$$(100.2-1.96\frac{3.34}{\sqrt{15}},100.2+1.96\frac{3.34}{\sqrt{15}})$$
$(97.67,102.73)$$
因此,总体均值的置信区间为(97.67,102.73)。