Matlab实现 LU分解法解线性方程组（全选主元&&列选主元）

在Matlab中，LU分解是一种常用的求解线性方程组的算法，它将系数矩阵A分解为下三角矩阵L（单位下三角矩阵）和上三角矩阵U的乘积，即A = LU。有两种选择主元的方法：

1. **全选主元**（Full Pivoting）：这种方法保证了分解过程中的元素交换不会导致U变为奇异矩阵，即使矩阵A有零或接近零的特征值也能得到稳定的解。在Matlab中，你可以使用`lu(A,'full')`命令进行全选主元的LU分解。

2. **列选主元**（Column Pivoting）：也称为列排序，会按照列的最大绝对值来选取主元，这有助于减少因数值不稳定导致的错误。在Matlab中，`lu(A)`默认就是采用列选主元的方式，如果需要明确指定，可以用`[L,U,P] = lu(A,'vector',true)`，其中P是一个表示列置换的 permutation 矩阵。

一旦得到了L和U，你可以用下面的方式来求解线性方程组Ax=b：

[L,U,P] = lu(A);
b_pivot = P * b; % 应用列置换到右边的向量b
x = U \ b_pivot; % 使用上三角矩阵解方程
x = L \ x; % 再次应用行变换恢复原变量顺序