c垂直于a和b,为啥c等于ab的叉乘

垂直于向量a和b的向量c，即c垂直于a和b的方向。叉乘是一种向量运算，用与相乘向量平面垂直的向量表示结果。当我们对向量a和b进行叉乘时，得到的结果向量c恰好垂直于a和b所在的平面。

根据叉乘的定义，我们可以得知，叉乘结果的模长等于a和b的模长的乘积乘以它们之间夹角的正弦值。由于c垂直于a和b，所以它们之间夹角为90度。根据正弦函数的性质，夹角为90度时，正弦值等于1。因此，叉乘结果的模长等于a和b的模长的乘积。

而对于方向部分，根据右手法则，我们可以确定叉乘结果的方向。将右手的四指从向量a旋转至向量b的方向，那么大拇指的方向就是叉乘结果的方向。这种确定方向的方法确保了c垂直于a和b的方向。

综上所述，c等于ab的叉乘，即c = a × b。这是因为叉乘得到的结果向量c既满足垂直于a和b的条件，又符合叉乘运算的模长和方向的规律。叉乘是一种数学工具，用于描述向量之间的关系，它在物理学、几何学和工程学等领域有着重要的应用。

相关问题

矩阵点乘和叉乘的意义

矩阵点乘（也称为内积或标量乘法），通常是两个矩阵相乘的结果，它是一个数，而非新的矩阵。这种操作用于计算线性变换的缩放因子、求解线性系统的系数等，它反映了两个矩阵在特定向量空间中的交互作用。

另一方面，矩阵叉乘，又称为外积或向量积，通常只适用于二维向量（即行向量或列向量）。在三维空间中，如果有一个行向量A和一个列向量B，它们的叉乘结果C是一个垂直于AB的第三维度的新向量，它的长度等于原两个向量构成平行四边形的面积，并且其方向按右手定则确定。矩阵叉乘主要用于生成旋转、平移等非刚体变换中的向量变化。

已知点A纬度为304538913，经度为1140827869；点B纬度为304536537，经度为1140834372；点C纬度为1140833143，经度为304536368。以上经纬度均为10进制数。求A点到BC两点组成的直线的垂直距离。

首先，将经纬度转换为直角坐标系中的坐标。由于地球是一个近似的椭球体，所以需要使用一些复杂的算法来进行转换。这里使用简化的算法，先将经纬度转换为平面直角坐标系中的坐标，再将其转换为立体直角坐标系中的坐标。

假设地球是一个半径为6371000米的球体，将经度和纬度分别除以10^7，得到单位为度的数值，再将其转换为弧度制。然后，根据以下公式计算出平面直角坐标系中的坐标：

x = R * cos(纬度) * cos(经度)
y = R * cos(纬度) * sin(经度)
z = R * sin(纬度)

其中，R为地球半径。

将A、B、C三点的经纬度代入公式中，得到它们在平面直角坐标系中的坐标：

A(-2002316.426, 5624931.157, 2460527.489)
B(-2002467.859, 5624889.443, 2460358.073)
C(-2002450.316, 5624884.102, 2460364.531)

接下来，将这三个点分别连接成两条直线：AB和AC。由于求的是A点到直线BC的垂直距离，所以需要求出A到直线AB和AC的垂线交点，再计算出这两个点之间的距离，即为所求。

设A点到直线AB的垂线交点为D，AC的垂线交点为E。则AD和AE分别垂直于AB和AC，可以通过向量叉乘来求出它们的方向向量。具体来说，设AB向量为u，AC向量为v，AD向量为w，AE向量为t，则有：

u = B - A = (-215.433, -41.714, -169.416)
v = C - A = (134.827, -47.055, 37.042)
w = u × (A - B) = (-0.076, -0.495, 0.865)
t = v × (A - C) = (0.043, 0.826, 0.562)

其中，×表示向量叉乘。

由于AD和AE与AB和AC垂直，所以它们的方向向量分别与u和v平行。因此，可以将AB和AC表示为各自的单位向量u'和v'与它们的长度之积相乘，即：

u' = u / ||u|| = (-0.993, -0.193, -0.098)
v' = v / ||v|| = (0.691, -0.304, 0.656)
AB = A + t * u' = (-2002316.371, 5624931.286, 2460527.465)
AC = A + w * v' = (-2002316.440, 5624931.194, 2460527.484)

其中，||u||和||v||表示向量u和v的长度。

现在，可以计算出D和E的坐标。由于D在AB上，所以它的坐标可以表示为：

D = AB + k * u'

其中，k为实数。由于AD和AB垂直，所以它们的向量点积为0，即：

w · u = (AB - A) · u = 0

将AB代入上式，得到：

k = (A - B) · u / ||u||^2 = 73.688

将k代入D的坐标公式，得到：

D = (-2002387.064, 5624890.386, 2460458.524)

同理，E在AC上，可以表示为：

E = AC + m * v'

其中，m为实数。由于AE和AC垂直，所以它们的向量点积为0，即：

t · v = (AC - A) · v = 0

将AC代入上式，得到：

m = (A - C) · v / ||v||^2 = 46.557

将m代入E的坐标公式，得到：

E = (-2002358.324, 5624899.573, 2460472.645)

现在，可以计算出DE的长度，即为A点到BC两点组成的直线的垂直距离。根据两点之间的距离公式，有：

DE = ||E - D|| = 39.219米

因此，A点到BC两点组成的直线的垂直距离为39.219米。