gmm的对数似然函数

GMM (高斯混合模型) 的对数似然函数是用来评估模型拟合数据的好坏的一个统计量。它基于这样的假设：数据是由多个互不相关的高斯分布（也称作成分）线性组合而成的。对数似然函数可以表示为：

对于每个观测样本 \( x_i \)，其对数似然为：

\[
\log p(x_i | \theta) = \sum_{k=1}^{K} w_k \cdot \log(p_k(x_i; \mu_k, \sigma_k^2))
\]

其中：
- \( K \) 是高斯组件的数量，
- \( w_k \) 是第 \( k \) 个高斯分量的概率权重，满足 \( w_k > 0 \) 且 \( \sum_{k=1}^{K} w_k = 1 \)，
- \( p_k(x_i; \mu_k, \sigma_k^2) \) 是第 \( k \) 个高斯分布的密度函数，参数包括均值 \( \mu_k \) 和方差 \( \sigma_k^2 \)。

最大化这个函数就是GMM学习过程的目标，通过调整参数 \( \theta = \{w_1, ..., w_K, \mu_1, ..., \mu_K, \sigma_1^2, ..., \sigma_K^2\} \) 来找到能最好地解释数据分布的高斯混合模型。