存在严格单调递增的有理数列 {rn} 使得 lim n →∞ rn = x.
时间: 2023-10-30 12:02:42 浏览: 73
存在一个严格单调递增的有理数列 {rn} 使得当 n趋向于无穷大时,rn的极限为x。
假设x是一个有理数,即x可以表示为两个整数的比例,即x=a/b,其中a和b是整数,且b≠0。我们可以构造一个严格单调递增的有理数列 {rn}如下:
r1 = a/b
r2 = a/b + 1
r3 = a/b + 1/2
r4 = a/b + 1/3
r5 = a/b + 1/4
......
rn = a/b + 1/(n-1)
可以看出,随着n的增加,rn与x的差值越来越小,即rn逐渐趋近于x。所以,当n趋向于无穷大时,rn极限为x。
假设x是一个无理数,即x不能表示为两个整数的比例。在这种情况下,我们可以利用有理数的序列逼近无理数的特性来构造有理数列 {rn}:
我们可以采取二分查找的方式,从1开始,不断将区间[a,b]进行二分,找出区间中的中点c。若c小于x,则取c为新的下界a,否则取c为新的上界b。然后,再将新的区间[a,b]进行二分,找出新的中点c。如此循环,每次找到新的中点c后,取rn为c。
由于每次二分区间的长度减半,所以在无限迭代的过程中,我们可以无限逼近x,即rn逐渐趋近于x。所以,当n趋向于无穷大时,rn的极限为x。
综上所述,存在严格单调递增的有理数列 {rn} 使得当n趋向于无穷大时,rn的极限为x。
相关问题
x~χ^2(n),则lim┬n→∞p(x n/√2n≤x)=?
当n趋于无穷大时,根据中心极限定理,我们知道χ^2(n)的分布会趋近于正态分布N(0,1)。设X~N(0,1),则根据正态分布的性质,我们知道P(X ≤ x) = Φ(x),其中Φ(x)表示标准正态分布函数。根据题目中的lim┬n→∞p(x n/√2n≤x) = lim┬n→∞P(X ≤ x n/√2n),在n趋于无穷大时,根据中心极限定理,χ^2(n)的分布会趋近于标准正态分布N(0,1),因此P(X ≤ x n/√2n)会趋近于Φ(x/√2)。所以,lim┬n→∞p(x n/√2n≤x) = Φ(x/√2)。
以上是对题目的300字中文回答。
求极限lim(n→∞)n!a^n/n^n(0<|a|<e))
我们可以使用Stirling公式来求解这个极限:
n! ≈ √(2πn) * (n/e)^n
将其代入原式得到:
lim(n→∞) n!a^n/n^n = lim(n→∞) (a/e)^n * √(2πn) / n^(n-1/2)
将 lim(n→∞) √(2πn) / n^(n-1/2) 看成一个常数 C,我们只需要考虑 lim(n→∞) (a/e)^n。
因为 0 < |a| < e,所以 a/e 的绝对值小于1,因此当 n 趋向无穷大时,(a/e)^n 会趋向于0。
因此,原式的极限为:
lim(n→∞) n!a^n/n^n = lim(n→∞) (a/e)^n * C = 0
因此,原式的极限为0。
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