邻接矩阵的幂次方怎么算

邻接矩阵的幂次方表示的是图中节点间经过多次步数的可达性。对于一个图的邻接矩阵 \( A \)，它的幂 \( A^k \) 可以通过以下步骤计算：

1. **定义初始矩阵**：如果 \( A \) 是一个 \( n \times n \) 的矩阵，表示一个无向图，其中 \( a_{ij} = 1 \) 表示节点 \( i \) 可以到达节点 \( j \)，\( a_{ij} = 0 \) 否则。

2. **幂的计算**：从 \( A^1 = A \) 开始，每次将当前矩阵自乘一次得到下一次幂。例如 \( A^2 = A \cdot A \)，\( A^3 = A^2 \cdot A \)，以此类推。

对于较大的幂次，可以使用矩阵快速幂（Matrix Exponentiation）算法来加速计算，该算法利用了矩阵乘法的结合律，可以在 \( O(\log k) \) 时间复杂度内计算 \( A^k \)。

3. **结果解释**：矩阵的元素 \( (A^k)_{ij} \) 就表示节点 \( i \) 能够通过最多 \( k \) 步达到节点 \( j \) 的可能性。如果这个值为非零，则表明存在路径；如果为零，说明没有这样的路径。

相关问题

计算邻接矩阵A的k（k<=n）次幂，A的k次方的第i行第j列元素为vi到vj长度为k的路径的条数。由邻接矩阵输出任意两个节点长度小于等于n的路径的数目。用c语言编写

好的，针对你的问题，我可以给出以下的 C 语言代码：

#include <stdio.h>

#define MAXN 100

int n, k;
int A[MAXN][MAXN], C[MAXN][MAXN];

void matrix_multiply(int A[][MAXN], int B[][MAXN], int C[][MAXN])
{
    int i, j, l;

    for (i = 0; i < n; i++) {
        for (j = 0; j < n; j++) {
            C[i][j] = 0;
            for (l = 0; l < n; l++) {
                C[i][j] += A[i][l] * B[l][j];
            }
        }
    }
}

void matrix_pow(int A[][MAXN], int k, int C[][MAXN])
{
    int i, j;

    if (k == 0) {
        for (i = 0; i < n; i++) {
            for (j = 0; j < n; j++) {
                C[i][j] = (i == j);
            }
        }
        return;
    }

    matrix_pow(A, k/2, C);
    matrix_multiply(C, C, C);

    if (k % 2 == 1) {
        matrix_multiply(C, A, C);
    }
}

int main()
{
    int i, j, l;
    scanf("%d%d", &n, &k);
    for (i = 0; i < n; i++) {
        for (j = 0; j < n; j++) {
            scanf("%d", &A[i][j]);
        }
    }

    matrix_pow(A, k, C);

    for (i = 0; i < n; i++) {
        for (j = 0; j < n; j++) {
            int cnt = 0;
            for (l = 1; l <= k && l <= n; l++) {
                cnt += C[i][j];
                matrix_multiply(C, A, C);
            }
            printf("%d ", cnt);
        }
        printf("\n");
    }

    return 0;
}

上面的代码中，我们使用了两个函数 `matrix_multiply` 和 `matrix_pow` 分别来计算矩阵乘法和矩阵的幂，其中 `matrix_pow` 是一个递归函数，通过分治的方式计算矩阵的幂。

具体来说，我们可以先将 k 分解成若干个二次幂的和，比如：

$$k = 2^{a_1} + 2^{a_2} + \cdots + 2^{a_m}$$

然后，我们可以从小到大依次计算 $A^{2^{a_1}}, A^{2^{a_1}+2^{a_2}}, \cdots, A^{2^{a_1}+\cdots+2^{a_m}}$，每次计算都是通过将上一次计算的结果平方得到的，因此时间复杂度为 $O(n^3\log k)$。

最后，我们可以根据矩阵 $C=A^k$ 来计算任意两个节点之间长度小于等于 $n$ 的路径的数目，这可以通过对矩阵连乘来实现，具体来说，我们可以计算出 $C, AC, A^2C, \cdots, A^{n-1}C$，然后对于任意的一对节点 $(i,j)$，我们可以通过相加得到它们之间长度小于等于 $n$ 的路径的数目：

$$\text{cnt}(i,j) = \sum_{l=1}^{\min(k,n)} C_{i,j}+AC_{i,j}+A^2C_{i,j}+\cdots+A^{l-1}C_{i,j}$$

这里需要注意的是，如果 $k>n$，那么我们只需要计算出 $A^0,A^1,\cdots,A^{n-1}$ 即可，因为长度大于 $n$ 的路径肯定不能包含在其中。

希望这个代码能够帮助到你，如果你还有其他问题，可以随时问我。

输入邻接矩阵判断是否为连通图

根据提供的引用内容，判断一个图是否为连通图可以通过以下步骤进行：

1. 输入邻接矩阵。
2. 求出矩阵的2~n-1次方。
3. 将矩阵的1~n-1次方对应点相加求和，存入另一n*n矩阵中，将此矩阵非0元素全部置为1，将对角线元素置为1，得到此图的可达矩阵。
4. 根据可达矩阵判断，若所有元素都为1，则图为连通图；否则，图不是连通图。

请注意，这里的邻接矩阵是指一个n*n的矩阵，其中第i行第j列的元素表示顶点i到顶点j是否有边相连。如果有边相连，则对应位置的元素为1；否则，为0。