latex编写,证明:\nabla \times \left ( \nabla \Phi \right ) =0
时间: 2023-11-25 20:05:17 浏览: 26
根据矢量分析理论,可以证明:$\nabla \times \left ( \nabla \Phi \right ) =0$,其中 $\Phi$ 是一个标量场。
证明过程如下:
由于 $\Phi$ 是一个标量场,因此可以表示为 $\Phi = \Phi(x,y,z)$。
则有:
$$
\nabla \Phi = \frac{\partial \Phi}{\partial x} \mathbf{i} + \frac{\partial \Phi}{\partial y} \mathbf{j} + \frac{\partial \Phi}{\partial z} \mathbf{k}
$$
对 $\nabla \Phi$ 取旋度,有:
\begin{aligned}
\nabla \times \left ( \nabla \Phi \right ) &= \begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\
\frac{\partial \Phi}{\partial x} & \frac{\partial \Phi}{\partial y} & \frac{\partial \Phi}{\partial z}
\end{vmatrix} \\
&= \left ( \frac{\partial^2 \Phi}{\partial y \partial z} - \frac{\partial^2 \Phi}{\partial z \partial y} \right ) \mathbf{i} + \left ( \frac{\partial^2 \Phi}{\partial z \partial x} - \frac{\partial^2 \Phi}{\partial x \partial z} \right ) \mathbf{j} + \left ( \frac{\partial^2 \Phi}{\partial x \partial y} - \frac{\partial^2 \Phi}{\partial y \partial x} \right ) \mathbf{k}
\end{aligned}
由于二阶偏导数的交换律,上式中的每一项都为 $0$,因此有:
$$
\nabla \times \left ( \nabla \Phi \right ) = 0
$$
因此,证明了 $\nabla \times \left ( \nabla \Phi \right ) =0$。