dag中最长路径的算法设计,写出bellman方程和伪代码,并分析时间复杂度。
时间: 2023-07-30 08:00:56 浏览: 51
dag中最长路径的算法设计是基于Bellman-Ford算法的变体。该算法可以解决有向无环图中的最长路径问题。
首先,我们需要定义一个数组d[],表示从起点到每个顶点的最长路径长度的估计值。然后,我们从起点开始遍历所有顶点,初始化d[]为负无穷大。
接下来,我们对所有的边进行松弛操作。即,对于边(u, v),如果d[v] < d[u] + weight(u, v),则更新d[v] = d[u] + weight(u, v)。
重复进行V-1次(V是图的顶点数)上述的松弛操作。
伪代码如下:
```
function longestPath(dag, start):
initialize d[] with -INF
d[start] = 0
for i in range(V-1):
for each edge (u, v) in dag:
if d[v] < d[u] + weight(u, v):
d[v] = d[u] + weight(u, v)
return d
```
时间复杂度分析:
最坏情况下,算法要遍历所有的边V-1次,对每条边进行一次松弛操作。所以总的时间复杂度为O(V*E),其中V表示图的顶点数,E表示图的边数。
相关问题
java 最长路径算法
Java 中最长路径算法主要有两种实现方式:动态规划和拓扑排序。
1. 动态规划
动态规划是一种自底向上的算法,可以求解从一个起点到另一个终点的最长路径。具体实现步骤如下:
1)定义状态:用数组或矩阵表示每个节点的最长路径。
2)状态转移方程:对于每个节点,需要计算其能够到达的所有节点的最长路径,并选择其中最大的作为该节点的最长路径。
3)最终结果:最长路径是所有节点的最大值。
Java 代码实现:
```
public class LongestPath {
public int longestPath(int[][] graph, int start, int end) {
int n = graph.length;
int[] dp = new int[n];
Arrays.fill(dp, Integer.MIN_VALUE);
dp[start] = 0;
for (int i = start; i <= end; i++) {
for (int j = 0; j < n; j++) {
if (graph[i][j] != 0) {
dp[j] = Math.max(dp[j], dp[i] + graph[i][j]);
}
}
}
return dp[end];
}
}
```
2. 拓扑排序
拓扑排序是一种基于有向无环图(DAG)的算法,可以求解从一个起点到另一个终点的最长路径。具体实现步骤如下:
1)构建拓扑排序序列:对于 DAG 中的每个节点,按照其入度从小到大排序,得到一个拓扑排序序列。
2)计算最长路径:从起点开始,依次遍历拓扑排序序列中的每个节点,更新其能够到达的所有节点的最长路径,并选择其中最大的作为该节点的最长路径。
3)最终结果:最长路径是终点的最长路径。
Java 代码实现:
```
public class LongestPath {
public int longestPath(int[][] graph, int start, int end) {
int n = graph.length;
int[] inDegree = new int[n];
for (int i = 0; i < n; i++) {
for (int j = 0; j < n; j++) {
if (graph[i][j] != 0) {
inDegree[j]++;
}
}
}
Queue<Integer> queue = new LinkedList<>();
queue.offer(start);
int[] dp = new int[n];
Arrays.fill(dp, Integer.MIN_VALUE);
dp[start] = 0;
while (!queue.isEmpty()) {
int node = queue.poll();
for (int i = 0; i < n; i++) {
if (graph[node][i] != 0) {
inDegree[i]--;
dp[i] = Math.max(dp[i], dp[node] + graph[node][i]);
if (inDegree[i] == 0) {
queue.offer(i);
}
}
}
}
return dp[end];
}
}
```
设计算法求解有向无环图的所有拓扑序列。用C++写出代码
拓扑排序算法可以解决有向无环图(DAG)的拓扑排序问题,即对于一个 DAG,找到一种线性排序,使得对于任意一条有向边 (u, v),结点 u 在排序结果中都出现在结点 v 的前面。
以下是基于 Kahn 算法的 C++ 代码实现:
```c++
#include <iostream>
#include <vector>
#include <queue>
using namespace std;
const int MAXN = 1e5 + 5;
vector<int> graph[MAXN]; // 存储图的邻接表
int inDegree[MAXN]; // 存储每个节点的入度
vector<vector<int>> allTopoSort(int n) {
vector<vector<int>> res; // 存储所有拓扑序列的结果
queue<int> q; // 存储入度为 0 的节点
vector<int> topoOrder; // 存储当前的拓扑序列
// 初始化入度为 0 的节点
for (int i = 0; i < n; i++) {
if (inDegree[i] == 0) {
q.push(i);
}
}
// BFS 搜索入度为 0 的节点
while (!q.empty()) {
int u = q.front();
q.pop();
topoOrder.push_back(u);
for (int v : graph[u]) {
inDegree[v]--;
if (inDegree[v] == 0) {
q.push(v);
}
}
}
// 判断是否存在拓扑序列
if (topoOrder.size() == n) {
res.push_back(topoOrder);
}
// 枚举入度为 0 的节点,从图中删除它并递归求解
for (int i = 0; i < n; i++) {
if (inDegree[i] == 0) {
for (int v : graph[i]) {
inDegree[v]++;
}
inDegree[i] = -1;
vector<vector<int>> subRes = allTopoSort(n);
for (vector<int>& subOrder : subRes) {
subOrder.insert(subOrder.begin(), i);
res.push_back(subOrder);
}
inDegree[i] = 0;
for (int v : graph[i]) {
inDegree[v]--;
}
}
}
return res;
}
int main() {
int n, m;
cin >> n >> m;
// 读入有向图,构建邻接表并计算每个节点的入度
for (int i = 0; i < m; i++) {
int u, v;
cin >> u >> v;
graph[u].push_back(v);
inDegree[v]++;
}
// 求解所有拓扑序列
vector<vector<int>> res = allTopoSort(n);
// 输出所有拓扑序列
for (vector<int>& topoOrder : res) {
for (int u : topoOrder) {
cout << u << " ";
}
cout << endl;
}
return 0;
}
```
该算法的时间复杂度为 $\mathcal{O}(n \cdot n!)$,其中 $n$ 是节点数。