python矩阵航变换

Python中的矩阵坐标变换主要通过线性变换和基变换来实现。线性变换是指在同一个坐标系下，通过矩阵乘法将点的位置进行改变。基变换是指在不同坐标系之间，保持点的绝对位置不变，但坐标系发生改变。矩阵变换和基变换都可以通过矩阵的乘法来实现。

在Python中，可以使用numpy库来进行矩阵变换和基变换。通过numpy库提供的函数，可以创建矩阵对象，并使用矩阵乘法来实现坐标变换。

首先，需要导入numpy库，然后使用numpy的array函数创建矩阵对象。例如，可以创建一个2x2的矩阵A和一个2维的列向量x：

import numpy as np

A = np.array([[1, 2], [3, 4]])
x = np.array([, ])

然后，可以通过矩阵乘法来实现矩阵变换。例如，可以使用A乘以x来实现矩阵变换：

y = np.dot(A, x)

这样就得到了变换后的坐标y。

另外，基变换可以通过将矩阵A的逆矩阵与x相乘来实现。首先，需要计算A的逆矩阵：

A_inv = np.linalg.inv(A)

然后，可以通过A_inv乘以x来实现基变换：
y = np.dot(A_inv, x)

这样就得到了基变换后的坐标y。

总结起来，Python中的矩阵坐标变换可以通过numpy库提供的函数和矩阵乘法来实现。使用矩阵变换可以改变点的位置，而使用基变换可以改变坐标系。通过对矩阵的乘法和逆矩阵运算，可以实现不同类型的坐标变换。

相关问题

旋转矩阵到欧拉角变换欧拉角

### 将旋转矩阵转换为欧拉角的方法

#### 数学公式推导
为了从给定的3×3旋转矩阵\(R\)中提取出欧拉角(yaw, pitch, roll)，可以采用特定的数学表达式来完成这一过程。对于内旋下的XYZ顺序，具体计算方法如下：

- **Pitch（绕Y轴的旋转角度）**可以通过反正弦函数获得\[ \text{pitch} = \arcsin(-R_{31})\][^3]

- **Yaw（绕Z轴的旋转角度）**则利用正切函数求得\[ \text{yaw} = \arctan2(R_{21}, R_{11})\]

- **Roll（绕X轴的旋转角度）**同样借助于正切函数得出\[ \text{roll} = \arctan2(R_{32}, R_{33})\]

这些公式的应用基于假设输入的是有效的旋转矩阵，并且遵循右手坐标系以及指定的旋转序列。

#### Python实现代码示例
下面是Python语言中的一个简单例子，用于展示如何根据上述提到的公式将旋转矩阵转化为对应的欧拉角:

import numpy as np


def rotation_matrix_to_euler_angles(R):
    """
    Converts a 3x3 rotation matrix into Euler angles.
    
    Parameters:
        R (numpy.ndarray): A valid 3x3 rotation matrix
    
    Returns:
        tuple: Yaw, Pitch and Roll values in radians
    """

    # Ensure the input is a NumPy array for easier manipulation
    R = np.array(R)

    # Calculate each component of the Euler angles using provided formulas
    yaw = np.arctan2(R[1, 0], R[0, 0])
    pitch = np.arcsin(-R[2, 0])
    roll = np.arctan2(R[2, 1], R[2, 2])

    return yaw, pitch, roll

此段程序定义了一个名为`rotation_matrix_to_euler_angles`的功能函数，它接收一个参数——即待处理的旋转矩阵\(R\)；随后按照前述公式依次计算并返回三个浮点数值表示的偏航角、俯仰角和翻滚角[^4]。

机器人变换矩阵zyx

### ZYX 欧拉角表示的变换矩阵原理

在机器人学中，ZYX欧拉角用于描述物体的姿态变化。具体来说，这种角度顺序意味着先绕Z轴旋转ψ（偏航角），再绕新的Y轴旋转θ（俯仰角），最后绕最新的X轴旋转φ（滚转角）。每次旋转都基于上一次旋转后的坐标系。

对于这三个连续的旋转变换可以分别写出对应的旋转矩阵：

#### 绕Z轴旋转ψ的角度
\[ R_z(\psi)=\begin{bmatrix}
\cos \psi & -\sin \psi & 0\\
\sin \psi & \cos \psi & 0 \\
0& 0 & 1
\end{bmatrix} \][^1]

#### 接着绕新形成的Y'轴旋转θ的角度
\[ R_y(\theta)=\begin{bmatrix}
\cos \theta & 0 & \sin \theta \\
0 & 1 & 0 \\
-\sin \theta & 0 & \cos \theta
\end{bmatrix}\]

#### 最后绕最终得到的X''轴旋转φ的角度
\[ R_x(\phi)=\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & \cos \phi & -\sin \phi \\
0 & \sin \phi & \cos \phi
\end{bmatrix}\]

为了获得完整的ZYX序列下的整体旋转效果，则需按照相反顺序相乘上述三个单独的旋转矩阵\(R= R_x(\phi)\cdot R_y(\theta) \cdot R_z(\psi)\)，从而形成一个综合性的3x3旋转矩阵用来表达整个姿态的变化过程[^2]。

此方法广泛应用于多关节机器人的运动规划以及三维空间内的目标定位等领域，在实际操作过程中能够有效地简化复杂的空间几何运算并提高计算效率[^3]。

import numpy as np

def zyx_rotation_matrix(phi, theta, psi):
    Rx = np.array([[1, 0, 0],
                   [0, np.cos(phi), -np.sin(phi)],
                   [0, np.sin(phi), np.cos(phi)]])
    
    Ry = np.array([[np.cos(theta), 0, np.sin(theta)],
                  [0, 1, 0],
                  [-np.sin(theta), 0, np.cos(theta)]])
    
    Rz = np.array([[np.cos(psi), -np.sin(psi), 0],
                  [np.sin(psi), np.cos(psi), 0],
                  [0, 0, 1]])
                  
    return np.dot(Rx, np.dot(Ry, Rz))