欧拉角转换成旋转矩阵

### 将欧拉角转换为旋转矩阵

在计算机图形学和机器人技术中，为了表示三维空间中的物体姿态，通常会采用欧拉角来描述绕三个轴的旋转角度。当需要将这些角度转化为更易于处理的形式时，则可以构建对应的旋转矩阵。

对于标准顺序ZYX（即先沿Z轴转ψ度、再沿着新的Y轴转动θ度最后围绕新坐标系下的X轴旋转向量φ），其组合后的总变换可由下面公式给出：

\[ R = R_x(\phi) \cdot R_y(\theta)\cdot R_z(\psi) \]

其中各个分量具体表达如下[^1]:

- 绕 Z 轴旋转的角度 ψ 对应于 \(R_z\) 的定义为：

\[
R_{z}=\begin{bmatrix}
cos\psi & -sin\psi&0\\
sin\psi &cos\psi&0 \\
0&0&1
\end{bmatrix}
\]

- 接着按照更新后的 Y' 轴方向做 θ 度偏航运动形成 \(R_y\) :

\[
R_{y}= \begin{bmatrix}
cos\theta & 0 & sin\theta\\
0 & 1 & 0\\
-sin\theta & 0 & cos\theta
\end{bmatrix}
\]

- 最终依据最新的 X'' 坐标轴完成 φ 角倾斜动作得到 \(R_x\) ：

\[
R_{x}= \begin{bmatrix}
1 & 0 & 0\\
0 & cos\varphi & -sin\varphi\\
0 & sin\varphi & cos\varphi
\end{bmatrix}
\]

通过依次相乘上述单轴旋转矩阵即可获得完整的旋转效果。值得注意的是，在实际应用过程中可能会遇到不同的约定方式，比如XYZ或其他序列；因此实现前应当确认所使用的惯例是什么样的[^2]。

Python代码示例如下所示:

import numpy as np

def euler_to_rotation_matrix(phi, theta, psi):
    """
    Convert Euler angles (in radians) into a rotation matrix.
    
    Args:
        phi(float): Rotation around the x-axis.
        theta(float): Rotation around the y'-axis after rotating by phi.
        psi(float): Rotation around the z''-axis after rotating by both previous rotations.

    Returns:
        ndarray: A 3x3 rotation matrix representing these three consecutive rotations.
    """

    # Define individual axis rotation matrices based on input parameters
    Rx = np.array([[1,            0,             0],
                   [0,     np.cos(phi), -np.sin(phi)],
                   [0,     np.sin(phi),  np.cos(phi)]])
                   
    Ry = np.array([[np.cos(theta), 0,  np.sin(theta)],
                   [0,              1,               0],
                   [-np.sin(theta), 0,  np.cos(theta)]])
                    
    Rz = np.array([[np.cos(psi), -np.sin(psi), 0],
                   [np.sin(psi),  np.cos(psi), 0],
                   [           0,             0, 1]])

    # Multiply them together according to Tait-Bryan convention (zyx)
    return Rz @ Ry @ Rx