欧拉角如何转换为旋转矩阵？

欧拉角是一种描述三维空间中物体旋转顺序的方式，通常由三个角度组成，如X轴、Y轴和Z轴的偏转角。将其转换为旋转矩阵可以分为三步骤：

1. **X-Y-Z顺序** (也称为Tait-Bryan角)：
- 首先，将绕Z轴的角度θz乘到基础旋转矩阵上（即绕x=0,y=0,z=1轴的单位矩阵）：`Rx(θz)`
- 然后，应用绕Y轴的角度θy得到新的矩阵：`Ry(θy) * Rx(θz)`
- 最后，应用绕X轴的角度θx：`Rx(θx) * Ry(θy) * Rx(θz)`

具体矩阵表示如下：

   R = Rx(θx) * Ry(θy) * Rz(θz)
     = [[1  0         cθx sθx]      // cos(θx), sin(θx)
       [0  cθy*sθz -sθy*sθz]      // cos(θy)*sin(θz), -sin(θy)*sin(θz)
       [0  sθy*cθz  cθy*cθz]]      // sin(θy)*cos(θz), cos(θy)*cos(θz)]

其中，cθx 和 sθx 分别代表 cos θx 和 sin θx，以此类推。

2. **其他顺序** （比如Z-Y-X），则旋转顺序需要相应调整。

注意，在实际操作中，由于存在 gimbal lock（枢轴锁定）问题，特别是当两个轴之间的旋转接近90度时，需要特别处理或选择其他旋转表示形式，如四元数。

相关问题

欧拉角转换矩阵如何确定？

欧拉角转换到旋转矩阵的过程通常涉及三个步骤，分别对应每个欧拉角（Roll、Pitch、Yaw）。由于顺序的不同，会得到不同的旋转矩阵，这是因为旋转是复合操作，有多种组合方式。这里以ZXY（先Yaw，然后Pitch，最后Roll）为例：

1. **初始旋转矩阵** (假设为 Identity 矩阵):

   | 1  0  0 |
   | 0  1  0 |
   | 0  0  1 |

2. **添加Yaw角**:
- Yaw 角旋转在最后一列第一行上乘以 cos(θ)，其他元素乘以 sin(θ)。

   | 1       0        0        |
   | 0  cos(θz) -sin(θz)  0        |
   | 0  sin(θz)  cos(θz)  0        |

3. **添加Pitch角**:
- Pitch 角旋转在第二列第二行上乘以 cos(θ), 第三行乘以 -sin(θ), 其他保持不变。

   |  cos(θy)  0  sin(θy)  0  |
   | 0            1         0  |
   | -sin(θy)  0  cos(θy)  0  |

4. **添加Roll角**:
- Roll 角旋转在第三列第一行上乘以 cos(θ), 第二行乘以 -sin(θ), 第一行和第三列的其他元素保持不变。

   | cos(θx)*cos(θy) -sin(θx)*sin(θy)*sin(θz)  sin(θx)*cos(θz)  0 |
   | sin(θx)*sin(θy) + cos(θx)*cos(θy)*sin(θz)   cos(θx)*cos(θz)  0 |
   | sin(θy)*sin(θz)                              -cos(θy)*sin(θz)  cos(θy) |
   | 0                                                   0                   0 |

这就是ZXY欧拉角转换到旋转矩阵的公式。其他顺序如ZXZ、XYZ等会有不同的乘法顺序。需要注意的是，为了防止数值不稳定带来的误差，特别是当两个旋转接近90度时，通常会使用四元数或其他更稳定的表示方式。

欧拉角转换成旋转矩阵

### 将欧拉角转换为旋转矩阵

在计算机图形学和机器人技术中，为了表示三维空间中的物体姿态，通常会采用欧拉角来描述绕三个轴的旋转角度。当需要将这些角度转化为更易于处理的形式时，则可以构建对应的旋转矩阵。

对于标准顺序ZYX（即先沿Z轴转ψ度、再沿着新的Y轴转动θ度最后围绕新坐标系下的X轴旋转向量φ），其组合后的总变换可由下面公式给出：

\[ R = R_x(\phi) \cdot R_y(\theta)\cdot R_z(\psi) \]

其中各个分量具体表达如下[^1]:

- 绕 Z 轴旋转的角度 ψ 对应于 \(R_z\) 的定义为：

\[
R_{z}=\begin{bmatrix}
cos\psi & -sin\psi&0\\
sin\psi &cos\psi&0 \\
0&0&1
\end{bmatrix}
\]

- 接着按照更新后的 Y' 轴方向做 θ 度偏航运动形成 \(R_y\) :

\[
R_{y}= \begin{bmatrix}
cos\theta & 0 & sin\theta\\
0 & 1 & 0\\
-sin\theta & 0 & cos\theta
\end{bmatrix}
\]

- 最终依据最新的 X'' 坐标轴完成 φ 角倾斜动作得到 \(R_x\) ：

\[
R_{x}= \begin{bmatrix}
1 & 0 & 0\\
0 & cos\varphi & -sin\varphi\\
0 & sin\varphi & cos\varphi
\end{bmatrix}
\]

通过依次相乘上述单轴旋转矩阵即可获得完整的旋转效果。值得注意的是，在实际应用过程中可能会遇到不同的约定方式，比如XYZ或其他序列；因此实现前应当确认所使用的惯例是什么样的[^2]。

Python代码示例如下所示:

import numpy as np

def euler_to_rotation_matrix(phi, theta, psi):
    """
    Convert Euler angles (in radians) into a rotation matrix.
    
    Args:
        phi(float): Rotation around the x-axis.
        theta(float): Rotation around the y'-axis after rotating by phi.
        psi(float): Rotation around the z''-axis after rotating by both previous rotations.

    Returns:
        ndarray: A 3x3 rotation matrix representing these three consecutive rotations.
    """

    # Define individual axis rotation matrices based on input parameters
    Rx = np.array([[1,            0,             0],
                   [0,     np.cos(phi), -np.sin(phi)],
                   [0,     np.sin(phi),  np.cos(phi)]])
                   
    Ry = np.array([[np.cos(theta), 0,  np.sin(theta)],
                   [0,              1,               0],
                   [-np.sin(theta), 0,  np.cos(theta)]])
                    
    Rz = np.array([[np.cos(psi), -np.sin(psi), 0],
                   [np.sin(psi),  np.cos(psi), 0],
                   [           0,             0, 1]])

    # Multiply them together according to Tait-Bryan convention (zyx)
    return Rz @ Ry @ Rx