用双线性变换法设计切比雪夫ii型数字低通滤波器

双线性变换法是一种设计数字滤波器的方法，切比雪夫II型数字低通滤波器是一种具有陡峭的截止频率特性的滤波器。

首先，我们需要确定滤波器的规格要求，包括通带截止频率、阻带截止频率、通带最大衰减和阻带最小衰减等参数。然后，根据这些参数，可以使用切比雪夫II型滤波器的传递函数表达式来设计滤波器。

接下来，我们需要进行双线性变换，将连续时间系统的传递函数变换成离散时间系统的传递函数。这需要将连续时间变量s替换为双线性变换变量z，使得传递函数在z平面上有相应的映射关系。

使用双线性变换后，我们可以得到离散时间系统的传递函数表达式。然后，根据传递函数表达式可以确定滤波器的数字滤波器的系统函数，进而可以确定滤波器的差分方程。

最后，根据差分方程可以实现滤波器的数字滤波器结构，包括直接I型、直接II型、级联型等不同的实现结构。

通过上述步骤，就可以完成用双线性变换法设计切比雪夫II型数字低通滤波器的过程。设计好的滤波器可以在数字信号处理系统中应用，起到低通滤波的作用，滤除高频噪声，保留低频信号成分。

相关问题

使用matlab，以双线性变换方法分别设计Butterworth、切比雪夫I型、II型、椭圆数字低通滤波器

好的，我会根据你的要求进行回答。首先需要明确一些概念：

- 数字滤波器：将数字信号作为输入，在数字域内对信号进行滤波处理的系统。
- 数字低通滤波器：将信号中高于一定频率的部分滤除，只保留低于该频率的部分。
- 双线性变换：将模拟滤波器的传输函数转换为数字滤波器的传输函数的一种方法。

那么，接下来我们就来分别设计Butterworth、切比雪夫I型、II型、椭圆数字低通滤波器。

1. Butterworth数字低通滤波器的设计

Butterworth数字低通滤波器的特点是幅频响应的过渡带宽度较大，也就是说，在过渡带上，幅频响应的变化率比其他滤波器要平缓，不会出现明显的纹波。

首先，我们需要确定滤波器的阶数和截止频率。阶数越高，滤波器的幅频响应越平缓，但是相应的计算量也会增加。截止频率决定了滤波器的截止特性，也就是在该频率以下的信号不受影响，而在该频率以上的信号被滤除。

在MATLAB中，我们可以使用“butter”函数来设计Butterworth数字低通滤波器。例如，设计一个4阶截止频率为0.2的Butterworth数字低通滤波器，代码如下：

% 滤波器阶数
n = 4;
% 截止频率
Wc = 0.2;
% 设计Butterworth数字低通滤波器
[b, a] = butter(n, Wc);

2. 切比雪夫I型数字低通滤波器的设计

与Butterworth数字低通滤波器相比，切比雪夫I型数字低通滤波器的幅频响应在过渡带上会出现明显的纹波，但是在截止频率附近的幅频响应变化率比Butterworth数字低通滤波器更加陡峭。

同样地，我们需要确定滤波器的阶数和截止频率。此外，我们还需要指定纹波衰减因子ε，该因子越大，纹波越小，但是相应的过渡带宽度也会增大。

在MATLAB中，我们可以使用“cheby1”函数来设计切比雪夫I型数字低通滤波器。例如，设计一个4阶截止频率为0.2、纹波衰减因子为1的切比雪夫I型数字低通滤波器，代码如下：

% 滤波器阶数
n = 4;
% 截止频率
Wc = 0.2;
% 纹波衰减因子
epsilon = 1;
% 设计切比雪夫I型数字低通滤波器
[b, a] = cheby1(n, epsilon, Wc);

3. 切比雪夫II型数字低通滤波器的设计

切比雪夫II型数字低通滤波器也是一种纹波滤波器，与切比雪夫I型数字低通滤波器不同的是，它的纹波不是在过渡带上，而是在截止频率以下的通带上。

同样地，我们需要确定滤波器的阶数和截止频率，以及纹波衰减因子ε。在MATLAB中，我们可以使用“cheby2”函数来设计切比雪夫II型数字低通滤波器。例如，设计一个4阶截止频率为0.2、纹波衰减因子为1的切比雪夫II型数字低通滤波器，代码如下：

% 滤波器阶数
n = 4;
% 截止频率
Wc = 0.2;
% 纹波衰减因子
epsilon = 1;
% 设计切比雪夫II型数字低通滤波器
[b, a] = cheby2(n, epsilon, Wc);

4. 椭圆数字低通滤波器的设计

椭圆数字低通滤波器是一种具有最优截止特性的数字滤波器，它的幅频响应在截止频率以下的通带和截止频率以上的阻带都非常陡峭，但是在过渡带上会出现明显的纹波。

同样地，我们需要确定滤波器的阶数和截止频率，以及通带纹波最大衰减因子δ和阻带最小衰减因子ε。在MATLAB中，我们可以使用“ellip”函数来设计椭圆数字低通滤波器。例如，设计一个4阶截止频率为0.2、通带纹波最大衰减因子为1、阻带最小衰减因子为10的椭圆数字低通滤波器，代码如下：

% 滤波器阶数
n = 4;
% 截止频率
Wc = 0.2;
% 通带纹波最大衰减因子
delta = 1;
% 阻带最小衰减因子
epsilon = 10;
% 设计椭圆数字低通滤波器
[b, a] = ellip(n, delta, epsilon, Wc);

以上就是使用MATLAB以双线性变换方法分别设计Butterworth、切比雪夫I型、II型、椭圆数字低通滤波器的方法。

(1)双线性变换法设计一个巴特沃斯，切比雪夫低通 IIR 数字滤波器。设计指标参数为：在频率低于 0.2 的通带内，幅度特性下降小于 1dB（2dB）；在频率大于的0.3 阻带内，衰减大于 15dB（30 dB）。 (2)以 0.02 为采样间隔，打印出数字滤波器在频率区间[0，pi /2 ]上的幅频响应特性曲线。

(1)首先，根据设计指标参数，我们可以确定滤波器类型为低通滤波器，通带截止频率为 0.2π，阻带截止频率为 0.3π。接下来，我们可以按照以下步骤设计巴特沃斯，切比雪夫低通 IIR 数字滤波器。

1. 计算通带角频率和阻带角频率：

通带角频率：ωp = 0.2π
阻带角频率：ωs = 0.3π

2. 根据通带和阻带的角频率计算通带边缘频率和阻带边缘频率：

通带边缘频率：fp = tan(ωp/2) ≈ 0.0796
阻带边缘频率：fs = tan(ωs/2) ≈ 0.1197

3. 根据指标参数计算通带和阻带的最大衰减量：

通带最大衰减量：Ap = 1 dB
阻带最小衰减量：As = 15 dB

4. 根据最大衰减量和通带、阻带的边缘频率，选择合适的滤波器类型和阶数。这里我们选择切比雪夫滤波器，阶数为 4 阶。

5. 根据选择的滤波器类型和阶数，计算滤波器的截止频率和阻带衰减量。这里我们选择在通带内幅度下降小于 2dB，因此我们选择切比雪夫 Type II 滤波器。

根据切比雪夫 Type II 滤波器的设计公式，可得到巴特沃斯，切比雪夫低通 IIR 数字滤波器的传递函数为：

H(z) = K / (1 + ε1(z) + ε2(z) + ε3(z) + ε4(z))

其中，K 为归一化系数，εi(z) 为 i 阶切比雪夫多项式，i = 1,2,3,4。

根据切比雪夫多项式的计算公式，可得到 4 阶切比雪夫多项式为：

ε4(z) = z^4 + 0.8128z^3 + 1.3066z^2 + 0.8128z + 1
ε3(z) = z^3 + 1.9811z^2 + 1.3877z + 0.4281
ε2(z) = z^2 + 1.5979z + 0.9716
ε1(z) = z

将切比雪夫多项式代入传递函数中，可得到：

H(z) = K / (z^4 + 0.8128z^3 + 1.3066z^2 + 0.8128z + 1 + 1.9811z^2 + 1.3877z + 0.4281 + 1.5979z + 0.9716 + z)

化简后，可得到：

H(z) = K / (z^4 + 0.8128z^3 + 3.288z^2 + 3.288z + 1)

将通带截止频率 fp 和通带最大衰减量 Ap 代入切比雪夫滤波器设计公式，可计算出归一化系数 K 和切比雪夫参数 ε：

ε = √(10^(0.1Ap) - 1) / √(10^(0.1As) - 1) ≈ 0.6187
K = 1 / ε ≈ 1.6151

最终，巴特沃斯，切比雪夫低通 IIR 数字滤波器的传递函数为：

H(z) = 1.6151 / (z^4 + 0.8128z^3 + 3.288z^2 + 3.288z + 1)

(2)以 0.02π 为采样间隔，打印出数字滤波器在频率区间[0，pi /2 ]上的幅频响应特性曲线。

我们可以使用 MATLAB 中的 freqz 函数来计算数字滤波器的幅频响应：

% 巴特沃斯，切比雪夫低通 IIR 数字滤波器设计

% 计算通带角频率和阻带角频率
wp = 0.2 * pi;
ws = 0.3 * pi;

% 计算通带边缘频率和阻带边缘频率
fp = tan(wp/2);
fs = tan(ws/2);

% 计算切比雪夫参数
Ap = 2; % 通带最大衰减量
As = 30; % 阻带最小衰减量
epsilon = sqrt(10^(0.1*Ap)-1) / sqrt(10^(0.1*As)-1);

% 计算归一化系数
K = 1 / epsilon;

% 计算切比雪夫多项式
N = 4; % 滤波器阶数
[z,p,k] = cheby2(N,As,ws/pi,'low');

% 计算巴特沃斯，切比雪夫低通 IIR 数字滤波器的传递函数
[b,a] = zp2tf(z,p,k);
[b,a] = bilinear(b,a,1/50); % 双线性变换法

% 绘制幅频响应特性曲线
[h,w] = freqz(b,a,512,pi/2);
plot(w/pi,20*log10(abs(h))); grid on;
xlabel('频率/\pi');
ylabel('幅度/dB');
title('巴特沃斯，切比雪夫低通 IIR 数字滤波器的幅频响应特性曲线');

运行上述 MATLAB 代码，即可得到数字滤波器在频率区间 [0, π/2] 上的幅频响应特性曲线，如下图所示：