如何使用主方法来分析递归算法的时间复杂度？请以归并排序算法为例，给出具体的分析步骤。

在算法分析领域，主方法是一种解决递归关系式问题的强有力的工具。它能够帮助我们确定特定递归算法的时间复杂度。以归并排序算法为例，我们可以通过主方法来分析其时间复杂度。归并排序的递归式通常表示为T(n) = 2T(n/2) + O(n)，这里n表示需要排序的元素数量。要使用主方法分析这一递归关系式，需要按照以下步骤操作：
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首先，识别递归式的形式。归并排序的递归式可以写成T(n) = aT(n/b) + f(n)，其中a=2表示子问题的个数，n/b表示子问题的大小，f(n)=O(n)表示除了递归调用之外的工作量。
然后，根据主方法的三个案例来判断递归关系式的类型。主方法的三个案例如下：

案例1：如果f(n) = O(n^log_b(a) * log^k(n))对某个k≥0，则T(n) = Θ(n^log_b(a) * log^(k+1)(n))。
案例2：如果f(n) = Θ(n^log_b(a) * log^k(n))对某个k≥0，则T(n) = Θ(n^log_b(a) * log^(k+1)(n))。
案例3：如果f(n) = Ω(n^log_b(a) * log^k(n))对某个k≥0，且对某个常数ε>0有af(n/b) ≤ cf(n)对某个常数c<1和足够大的n，则T(n) = Θ(f(n))。

在归并排序的例子中，我们有a=2，b=2，log_b(a)=1。因为f(n)=O(n)，不满足案例1和案例2的形式，但满足案例3，其中k=0，f(n)是n^log_b(a)的上界。因此，根据案例3，我们有af(n/b) = 2f(n/2) ≤ cf(n)，其中c=1/2满足c<1的条件，所以归并排序的时间复杂度T(n) = Θ(n log n)。
通过这个分析，我们可以清楚地理解归并排序算法的时间复杂度是基于其递归结构和基本操作的复杂度。掌握主方法不仅能够帮助我们分析归并排序的时间复杂度，还能够应用于分析其他许多递归算法。对于想要进一步学习算法分析的读者，我推荐《算法导论》第2至25章习题参考答案。这本书提供了详细的习题解答，覆盖了排序、数据结构、递归和算法分析等多个方面，是深入理解算法设计和分析不可多得的资源。
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