\int \exp(-\frac{\alpha}{2} \chi_{T}^{2}(z) ) dz等于什么

这是一个积分问题，其中 $\chi_T^2(z)$ 是自由度为 $T$ 的卡方分布，参数 $\alpha$ 是一个正常数。根据卡方分布的定义，$\chi_T^2(z)$ 可以表示为 $T$ 个相互独立的标准正态分布的平方和，即$\chi_T^2(z)=\sum_{i=1}^{T}Z_{i}^2$，其中 $Z_i$ 是标准正态分布 $N(0,1)$。

将 $\chi_T^2(z)$ 的定义代入积分式中，得到：

$$\int \exp(-\frac{\alpha}{2} \sum_{i=1}^{T}Z_{i}^2) dz$$

该积分式可以通过变量代换和高斯积分公式进行求解。具体来说，将每个 $Z_i$ 变量替换为 $\sqrt{\frac{\alpha}{2}} z_i$，其中 $z_i$ 是新的积分变量，则有：

$$\int \exp(-\frac{\alpha}{2} \sum_{i=1}^{T}Z_{i}^2) dz=\int \exp(-\sum_{i=1}^{T}z_{i}^2) dz$$

这是一个 $T$ 维的高斯积分，可通过高斯积分公式求解得到：

$$\int \exp(-\frac{\alpha}{2} \chi_{T}^{2}(z)) dz=(\frac{\pi}{\alpha})^{\frac{T}{2}}$$

因此，原积分式的结果为 $(\frac{\pi}{\alpha})^{\frac{T}{2}}$。

相关问题

该过程正确吗？如果不正确，请给出修改后的正确版本。\begin{equation}\label{7a} \begin{aligned} \min_{}C_{1}\sum_{i=1}^{m_{2}}\frac{\sigma^{2}}{2}[1-\exp(-\frac{\xi_{i}^{2}}{2\sigma^{2}})]^{\theta} \end{aligned} \end{equation} We can rewrite \eqref{7a} as: \begin{equation}\label{15} \begin{aligned} \max_{\alpha}G_{1}(\alpha) \end{aligned} \end{equation} where \begin{equation}\label{15} \begin{aligned} G_{1}(\alpha)= C_{1}\sum_{i=1}^{m_{2}}\frac{\sigma^{2}}{2}[\exp(-\frac{\xi_{i}^{2}}{2\sigma^{2}})]^{\theta} \end{aligned} \end{equation} To facilitate the following derivations, we define the convex function $g_{\theta}(v)$ as: \begin{equation} g{\theta}(v) = \frac{1}{\theta}[-v\log(-v) + v]^{\theta}, ~~v<0 \end{equation} Then, using the theory of conjugate functions, we have: \begin{equation} \exp(-\frac{\xi_i^2}{2\sigma^2}) = \sup{v<0}[v\frac{\xi_i^2}{2\sigma^2}-g_{\theta}(v)], ~~~v=-\exp(-\frac{\xi_i^2}{2\sigma^2}) \end{equation} Thus, we can get: \begin{equation} \max{\alpha,v<0} \left{ \sum_{i=1}^{m_2} [v_i\frac{\xi_i^2}{2\sigma^2} - g_{\theta}(v{i})] \right} \end{equation} which is equivalent to: \begin{equation} \max_{\alpha} \left{ \sum_{i=1}^{m_2} [\exp(-\frac{\xi_i^2}{2\sigma^2}) \frac{\xi_i^2}{2\sigma^2} - g_{\theta}(-\exp(-\frac{\xi_i^2}{2\sigma^2}))] \right} \end{equation} This can be optimized using the HQ algorithm , where we alternate between optimizing $\alpha$ and $v$. Specifically, given fixed $\alpha^{(s)}$, we can solve for $v_i^{(s)}$ using the same equation as before: \begin{equation} v_i^{(s)} = -\exp(-\frac{(\xi^{(s)})^2}{2\sigma^2}) \end{equation} then,we can get: \begin{equation}\label{1} \begin{aligned} \min{}C_{1}\sum_{i=1}^{m_{2}}\frac{\sigma^{2}}{2}[1-\exp(-\frac{\xi_{i}^{2}}{2\sigma^{2}})]^{\theta} = \frac{1}{2\sigma^2}\kappa^T \Omega^{\frac{1}{\theta}}\kappa \end{aligned} \end{equation} 其中 $\kappa$ 为长度为 $m_2$ 的向量，其第 $i$ 个元素为 $\xi_i$，$\Omega$ 为一个对角线矩阵，其第 $i$ 个对角线元素为 $-\theta \exp(-\frac{\xi_i^2}{2\sigma^2})$。

这个过程有一些错误，需要进行修改。

首先，在求解 $v_i^{(s)}$ 的过程中，应该是：

$$v_i^{(s)} = -\frac{\partial g_{\theta}}{\partial v_i}|_{v_i=-\exp(-\frac{(\xi^{(s)})^2}{2\sigma^2})}=\left[1-\frac{1}{\theta}(-v_i\log(-v_i)+v_i)^{\theta-1}\right]_{v_i=-\exp(-\frac{(\xi^{(s)})^2}{2\sigma^2})}$$

此外，在最后的结果中，$\kappa$ 应该是一个长度为 $m_2$ 的列向量，而不是行向量。因此，正确的结果应该是：

$$\min{}C_{1}\sum_{i=1}^{m_{2}}\frac{\sigma^{2}}{2}[1-\exp(-\frac{\xi_{i}^{2}}{2\sigma^{2}})]^{\theta} = \frac{1}{2\sigma^2}\kappa^T \Omega^{\frac{1}{\theta}}\kappa$$

其中，$\kappa$ 是一个长度为 $m_2$ 的列向量，其第 $i$ 个元素为 $\xi_i$，$\Omega$ 是一个对角线矩阵，其第 $i$ 个对角线元素为 $-\theta \exp(-\frac{\xi_i^2}{2\sigma^2})$。

用latex表示：■(∂C/∂x=3 (P_2 h_2 (s-x))/√(〖(h_2^2+(s-x)^2)〗^5 )-3 (P_1 h_1 x)/√(〖(h_1^2+x^2)﷩5〗 )@∂C/(∂h_2 )=P_2/√(〖(h_2^2+(s-x)^2)〗^3 )-3 (P_1 h_2^2)/√(〖(h_2^2+(s-x)^2)〗^5 )) ∂C/(∂h_1 )=(P_2 h_1^2)/√(〖(h_1^2+x^2)〗^5 )+P_1/√(〖(h_1^2+x^2)〗^3 )

$$\frac{\partial C}{\partial x}=3\left(\frac{P_2h_2(s-x)}{\sqrt{(h_2^2+(s-x)^2)^5}}-\frac{P_1h_1x}{\sqrt{(h_1^2+x^2)^5}}\right)$$

$$\frac{\partial C}{\partial h_2}=\frac{P_2}{\sqrt{(h_2^2+(s-x)^2)^3}}-\frac{3P_1h_2^2}{\sqrt{(h_2^2+(s-x)^2)^5}}$$

$$\frac{\partial C}{\partial h_1}=\frac{P_2h_1^2}{\sqrt{(h_1^2+x^2)^5}}+\frac{P_1}{\sqrt{(h_1^2+x^2)^3}}$$