分别讨论n=1,2,3,4下牛顿-科茨公式的代数精度

牛顿-科茨公式是一种数值求解常微分方程的方法，其代数精度是指在计算过程中截断误差的阶数。下面分别讨论n=1,2,3,4时的代数精度：

n=1时，牛顿-科茨公式为：$y_{n+1}=y_n+hf(t_n,y_n)$。该公式的截断误差为$O(h^2)$，因此代数精度为1。

n=2时，牛顿-科茨公式为：$y_{n+1}=y_n+\frac{h}{2}(f(t_n,y_n)+f(t_{n+1},y_n+hf(t_n,y_n)))$。该公式的截断误差为$O(h^3)$，因此代数精度为2。

n=3时，牛顿-科茨公式为：$y_{n+1}=y_n+\frac{h}{6}(f(t_n,y_n)+4f(t_n+\frac{h}{2},y_n+\frac{h}{2}f(t_n,y_n))+f(t_{n+1},y_n+hf(t_n+\frac{h}{2},y_n+\frac{h}{2}f(t_n,y_n))))$。该公式的截断误差为$O(h^4)$，因此代数精度为3。

n=4时，牛顿-科茨公式为：$y_{n+1}=y_n+\frac{h}{24}(55f(t_n,y_n)-59f(t_n+\frac{h}{2},y_n+\frac{h}{2}f(t_n,y_n))+37f(t_n+h,y_n+hf(t_n+\frac{h}{2},y_n+\frac{h}{2}f(t_n,y_n)))-9f(t_n+3h/4,y_n+3h/4f(t_n+h/2,y_n+h/2f(t_n,y_n))))$。该公式的截断误差为$O(h^5)$，因此代数精度为4。

因此，随着n的增加，牛顿-科茨公式的代数精度也随之提高。