分别讨论n=1,2,3,4时牛顿科茨公式的代数精度
时间: 2023-08-02 07:10:30 浏览: 62
牛顿-科茨公式是一种数值积分公式,用于数值积分中的插值法。其一般形式为:
$$\int_{x_0}^{x_n}f(x)dx=\sum_{i=0}^nA_if(x_i)+\frac{f^{(n)}(\xi)}{n!}\int_{x_0}^{x_n}\omega(x) \prod_{i=0}^{n}(x-x_i)dx$$
其中,$A_i$是插值系数,$\xi$是$x_0$和$x_n$之间的某个点,$\omega(x)$是插值多项式的权函数。
当$n=1$时,牛顿-科茨公式即为梯形公式,其代数精度为1。
当$n=2$时,牛顿-科茨公式即为辛普森公式,其代数精度为2。
当$n=3$时,牛顿-科茨公式即为三点公式,其代数精度为2。
当$n=4$时,牛顿-科茨公式即为四点公式,其代数精度为3。
综上所述,牛顿-科茨公式的代数精度随着$n$的增大而增大,但并不是所有的$n$值都能保证其代数精度为$n-1$。
相关问题
分别讨论n=1,2,3,4下牛顿-科茨公式的代数精度
牛顿-科茨公式是一种常用的数值积分方法,它可以用于数值求解一定区间上的定积分。该公式的代数精度可以通过计算其在一些代数函数上的精确程度来确定。
当$n=1$时,牛顿-科茨公式即为梯形公式。它的代数精度为1,即只能精确求解线性函数的积分。
当$n=2$时,牛顿-科茨公式为Simpson公式。它的代数精度为3,可以精确求解二次函数的积分。
当$n=3$时,牛顿-科茨公式为3/8公式。它的代数精度为4,可以精确求解三次函数的积分。
当$n=4$时,牛顿-科茨公式为4阶公式。它的代数精度为5,可以精确求解四次函数的积分。
因此,随着$n$的增加,牛顿-科茨公式的代数精度也会提高,可以精确求解更高阶的函数积分。
牛顿科茨求积公式matlab
这是牛顿-科茨求积公式的Matlab代码:
function [I] = NewtonCotes(f, a, b, n)
% f: 被积函数
% a, b: 积分区间
% n: 段数
% 求出节点和权重
[x, w] = getNodesAndWeights(n);
% 将节点映射到积分区间
t = (b - a) / 2 * x + (b + a) / 2;
% 计算积分值
I = (b - a) / 2 * sum(w .* f(t));
function [x, w] = getNodesAndWeights(n)
% n: 段数
switch n
case 1
x = 0;
w = 2;
case 2
x = [-1/sqrt(3); 1/sqrt(3)];
w = [1; 1];
case 3
x = [-sqrt(3/5); 0; sqrt(3/5)];
w = [5/9; 8/9; 5/9];
case 4
x = [-sqrt((3+2*sqrt(6/5))/7); -sqrt((3-2*sqrt(6/5))/7); sqrt((3-2*sqrt(6/5))/7); sqrt((3+2*sqrt(6/5))/7)];
w = [(18-sqrt(30))/36; (18+sqrt(30))/36; (18+sqrt(30))/36; (18-sqrt(30))/36];
case 5
x = [-1/3*sqrt(5+2*sqrt(10/7)); -1/3*sqrt(5-2*sqrt(10/7)); 0; 1/3*sqrt(5-2*sqrt(10/7)); 1/3*sqrt(5+2*sqrt(10/7))];
w = [(322-13*sqrt(70))/900; (322+13*sqrt(70))/900; 128/225; (322+13*sqrt(70))/900; (322-13*sqrt(70))/900];
otherwise
error('不支持的段数');
end
end
end
请注意,这个代码只支持1到5段的Newton-Cotes公式,因为一般来说,更高阶的公式会出现负权重和复杂的节点。如果你需要更高阶的公式,建议使用其他的数值积分方法,比如高斯积分。
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