向量组a,b,c,d线性无关,那a,b,ckd(k为常数)是否线性无关
时间: 2024-03-19 16:41:15 浏览: 26
当向量组a,b,c,d线性无关时,向量组的任何子集也是线性无关的。因此,如果a,b,ckd(k为常数)线性无关,那么我们需要证明ckd也是线性无关的。假设ckd线性相关,则存在不全为0的常数k1,k2,k3,使得k1a + k2b + k3ckd = 0。根据向量的线性性质,我们可以将上式变为(k1a + k2b) + k3ckd = 0。因为a,b,c,d线性无关,所以k1a + k2b = 0,k3ckd = 0。由于k3不为0,所以可以得到k1 = k2 = 0,因此a,b,ckd也是线性无关的。
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当向量组a,b,c,d线性无关时,向量组的任何子集也是线性无关的。因此,如果a,b,c,kd(k为常数)线性无关,那么我们需要证明kd也不等于0。假设kd=0,则当k不为0时,d=0,因此向量组a,b,c,d线性相关,与题目条件矛盾。当k=0时,向量组a,b,c也是线性无关的。因此,a,b,c,kd(k为常数)线性无关当且仅当k不等于0。
向量组a1a2 an线性无关,而向量组a1a2 b线性相关
如果向量组a1a2an线性无关,那么可以表示为c1a1 + c2a2 + ... + cnan = 0,其中c1, c2, ..., cn为不全为0的实数。因为向量组线性无关,所以ci不全为0。若将b表示为b = k1a1 + k2a2 + ... + knan,则有c1a1 + c2a2 + ... + cnan + (-k1)b = 0,其中至少有一个系数不为0,所以向量组a1a2b线性相关。