向量组的线性相关性
向量组及其线性组合
定义1:n个有次序的数a_1,a2,…,an所组成的数组
称为n维向量,这n个数称为该向量的n个分量,第i
个数a称为第i个分量
所讨论的向量在没有指明是行向量还是列向量时,
都当作列向量
若干个同维数的列向量(或同维数的行向量所组成
的集合叫做向量组
例如一个m×n矩阵的全体列向量是一个含n个m
维列向量的向量组,它的全体行向量是一个含m个
n维行向量的向量组
含有限个向量的有序向量组可以与矩阵一一对应
定义2:给定向量组A:a1,a2,…,am,对于任何一组实
数k1,k2,…,km表达式k1a1+k2a2+…+kmam称为
向量组A的一个线性组合,k1,k2,…,k称为这个线性
组合的系数
给定向量组A:a1,a2,…,an和向量b,如果存在一组
数入1,入2,…,入m,使b=入1a1+入2a2+…+入
mam,则向量b是向量组A的线性组合,这时称向量
b能由向量组A线性表示
向量组的线性相关性
向量组的秩
线性方程组的解的结构
向量空间
定义3:设有两个向量组A:a1,a2,…,m及B:b1,b2,…,
bl,若B组中的每个向量都能由向量组A线性表示,
则称向量组B能由向量组A线性表示若向量组A与
向量组B能相互线性表示则称这两个向量组等价
定理1:向量b能由向量组A:a1,a2,…am线性表示的
充分必要条件是矩阵A=(a1,a2,…,am)的秩等于矩
阵B=(a1,a2,…,am,b)的秩
定理2:向量组B:b1,b2,…,bl能由向量组A:a1,a2,…,
am线性表示的充分必要条件是矩阵A=(a1,a2,…,
am)秩等于矩阵(A,B)=(a1,…,am,b1,…,b1)的秩,即
R(A)=R(A,B).
推论:向量组A:a1,a2,…,am与向量组B:b1,b2,…,bl
等价的充分必要条件是 R(A)=R(B)=R(A,B),其中
A和B是向量组A和B所构成的矩阵.
定理3:设向量组B:b1,b2,…,bl能由向量组:a1,a2,,a
线性表示,则R(b1,b2,…,b)≤R(a1,a2,…,am)
总结
B由A表示：R(B)≤R(A)=R(A,B)
B与A等价：R(B)=R(A)=R(A,B)
有矩阵K,使B=AK
方程AX=B有解
定义4:给定向量组A:a1,a2,…,am,如果存在不全
为零的数k1,k2,...,km,使k1a1+k2a2+...+kmam=
0,则称向量组A是线性相关的,否则称它线性无关
向量组A:a1,a2,…,am(m≥2)线性相关,也就是在向
量组A中至少有一个向量能由其余m-1个向量线
性表示.
某一个向量可由其他向量线性表示，但不确定是
哪一个
定理4:向量组a1,a2,…,am线性相关的充分必要条
件是它所构成的矩阵A=(a1,a2,…,am)的秩小于向
量个数m;向量组线性无关的充分必要条件1,2,是
R(A)=m.
定理5:(1)若向量组A:a1,…,am线性相关,则向量组
B:a1,…,am,am+1也线性相关.反言之,若向量组B
线性无关,则向量组A也线性无关
(2)m个n维向量组成的向量组,当维数n小于向量
个数m时一定线性相关.特别地,n+1个n维向量一
定线性相关.
(3)设向量组A:a1,a2,…,am线性无关而向盘组B:
a1,,am,b线性相关,则向量b必能由向量组A线性
表示,且表示式是惟一的
定义5:设有向量组A,如果在A中能选出r个向量a1,
a2,…,ar,满足
(i)向量组A0:a1,a2,…,ar,线性无关;
(ii)向量组A中任意r+1个向量(如果A中有r+1个向
量的话)都线性相关,
那么称向量组A0是向量组A的一个最大线性无关
向量组(简称最大无关组);最大无关组所含向量个
数r称为向量组A的秩,记作R(A)
只含零向量的向量组没有最大无关组,规定它的秩
为0.
定理6:矩阵的秩等于它的列向量组的秩,也等于它
的行向量组的秩
定理3推论:(最大无关组的等价定义)设向量组A0:
a1,a2,…,a,是向量组A的一个部分组,且满足
(i)向量组A0线性无关;
(ii)向盘组A的任一向量都能由向量组A线性表示,
那么向量组A便是向量组A的一个最大无关组.
定理3的推广：若向量组B能由向量组A线性表示,
则R(B)≤R(A)
定理2的推广:向量组b1,b2,…,b1能由向量组a1,a2,
…,a线性表示的充分必要条件是R(a1,a2,…,am)=
R(a1,…,am,b1,…,b1)
这里记号R(a1,a2,…,am)既可理解为矩阵的秩,也
可理解成向量组的秩
总结
(1)n个未知数的齐次线性方程组Ax=0有非零解的
充分必要条件是系数矩阵的秩R(A)<n.
(2)n个未知数的非齐次线性方程组Ax=b有解的
充分必要条件是系数矩阵A的秩等于增广矩阵B的
秩,且当(A)=R(B)=n时方程组有惟一解,当R(A)=
R(B)=r<n时方程组有无限多个解.
对于向量方程Ax=0
性质1:若x=a1,x=a2为方程的解,则x=a1+a2也是
方程的解
性质2:若x=a1为方程的解,k为实数,则x=ka也是
方程的解
总结
齐次线性方程组的解集的最大无关组称为该齐次
线性方程组的基础解系；
要求齐次线性方程组的通解,只需求出它的基础解
系
定理7:设m×n矩阵A的秩R(A)=r,则n元齐次线性
方程组Ax=0的解集S的秩Rs=n-r.
对于向量方程Ax=b
性质3:设x=n1及x=n2都是方程的解,则x=n1-n2
为对应的齐次线性方程组Ax=0的解
性质4:设x=n1是方程的解,x=5是方程Ax=0的解,
则x=n1+n2仍是方程的解.
定义6:设V为n维向量的集合,如果集合非空,且集
合对于向量的加法及乘数两种运算封闭,那么就称
集合V为向量空间
所谓封闭,是指在集合V中可以进行向量的加法及
乘数两种运算.具体地说,就是:若a∈V,b∈V,则a+
b∈V;若a∈V,λ∈R,则λa∈V.
一般的,由向量组a1,a2,…,am所生成的向量空间
为L={x=λ1a1+λ2a2+…+λmam|λ1,…,λm∈R}
定义7:设V为向量空间,如果r个向量a1,a2,..,a∈V,
且满足
(i)a1,a2,…,ar,线性无关;
(i)V中任一向量都可由a1,a2,…,ar,线性表示,
那么,向量组a1,a2,…,ar,就称为向量空间的一个
基,r称为向量空间V的维数,并称V为r维向量空间
如果向量空间V没有基,那么V的维数为0.0维向量
空间只含一个零向量0.
若把向量空间V看作向量组,则由最大无关组的等
价定义可知,V的基就是向量组的最大无关组,V的
维数就是向量组的秩.
定义8如果在向量空间V中取定一个基a,a2,…,a,
那么V中任一向量x可惟一地表示为
x=λ1a1+λ2a2+…+λrar,数组λ1,λ2,…,λr,称为向量
x在基a1,a2,…,a,中的坐标.
特别地,在n维向量空间”中取单位坐标向量组e1,
e2,…,en为基,则以x1,x2,…,xn为分量的向量x,可
表示为x=x1e1+x2e2+…+xnen,
e1,e2,…,en叫做R^n中的自然基
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