线性代数里面,怎么证明向量组B能由向量组A线性表示,但向量组A不能由向量组B线性表示?二,怎么证明向量组A
时间: 2024-04-05 08:30:12 浏览: 34
首先,证明向量组B能由向量组A线性表示,可以考虑构造一个矩阵,使得向量组B可以通过该矩阵与向量组A的线性组合得到。具体来说,设向量组A为{a1, a2, ..., am},向量组B为{b1, b2, ..., bn},则可以构造一个m×n的矩阵M,使得M的第i列为向量bi在向量组A中的线性组合系数,即:
M = [c1,1 c2,1 ... cn,1
c1,2 c2,2 ... cn,2
... ... ... ...
c1,m c2,m ... cn,m]
其中,bi = c1,i*a1 + c2,i*a2 + ... + cm,i*am。
接着,证明向量组A不能由向量组B线性表示,可以采用反证法。假设向量组A可以由向量组B线性表示,即存在一个n×m的矩阵N,使得向量组A可以通过该矩阵与向量组B的线性组合得到。具体来说,设N的第i行为向量ai在向量组B中的线性组合系数,即:
N = [d1,1 d1,2 ... d1,n
d2,1 d2,2 ... d2,n
... ... ... ...
dm,1 dm,2 ... dm,n]
则有a1 = d1,1*b1 + d2,1*b2 + ... + dn,1*bn,
a2 = d1,2*b1 + d2,2*b2 + ... + dn,2*bn,
......
am = d1,m*b1 + d2,m*b2 + ... + dn,m*bn。
可以将上式转化为如下形式:
[b1 b2 ... bn][d1,1 d1,2 ... d1,n] [a1 a2 ... am]
[d2,1 d2,2 ... d2,n]
[... ... ... ...]
[dn,1 dn,2 ... dn,n]
由于向量组B是线性无关的,因此矩阵[b1 b2 ... bn]是满秩的,即其列向量线性无关,因此该矩阵的列空间是整个R^n空间。而根据上式,矩阵N的列空间是向量组A所在的子空间。因此,若向量组A可以由向量组B线性表示,则向量组A所在的子空间必然包含在R^n空间中,即向量组A的维数不超过n。然而,由于向量组B可以由向量组A线性表示,因此向量组B的维数也不超过m。由于n<m,因此矛盾,从而假设不成立,即证明了向量组A不能由向量组B线性表示。
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