若矩阵A的列向量组线性相关,则方程组Ax=0解的情况为
时间: 2024-04-03 19:30:49 浏览: 22
如果矩阵A的列向量组线性相关,那么至少存在一个非零向量x,使得Ax=0。此时方程组Ax=0有非零解。这是因为矩阵A的列向量组线性相关意味着矩阵A的秩小于列数,即存在自由未知量,从而方程组的解不唯一,至少存在一个非零解。
具体来说,设A为$m\times n$的矩阵,$a_1,a_2,...,a_n$为矩阵A的$n$个列向量,如果这些列向量线性相关,那么至少存在一组不全为零的常数$k_1,k_2,...,k_n$,使得$k_1a_1+k_2a_2+...+k_na_n=0$。设$x=(x_1,x_2,...,x_n)^T$为未知向量,那么方程组$Ax=0$可表示为:
$$\begin{bmatrix}a_1&a_2&\cdots&a_n\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\\vdots\\x_n\end{bmatrix}=x_1a_1+x_2a_2+\cdots+x_na_n=0$$
由于$k_1a_1+k_2a_2+...+k_na_n=0$,所以令$x_i=k_i(i=1,2,...,n)$即可得到一个非零解$x$,因此方程组$Ax=0$有非零解。
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设A为m*n的矩阵,则其次线性方程组AX = 0仅有零解的充要条件是什么
设A为m*n的矩阵,则其次线性方程组AX = 0仅有零解的充要条件是A的列向量线性无关。换言之,如果A的列向量线性相关,则其次线性方程组AX = 0必然有非零解;反之,如果A的列向量线性无关,则其次线性方程组AX = 0仅有零解。
该结论可以用矩阵的秩来表示,即A的列向量线性无关的充要条件是rank(A) = n。其中,rank(A)表示A的秩,即A的列向量组成的向量空间的维数。如果rank(A) = n,则A的列向量线性无关;否则,A的列向量线性相关。
已知R(A:)=2,则齐次线性方程组 Ax=0解向量组的基础解系包含__个向量
由于 $R(A)=2$,因此矩阵 $A$ 的列空间的维数为 $2$,即 $A$ 的列向量组成的向量组的秩为 $2$。根据线性代数基本定理,$A$ 的列向量组成的向量组的秩等于 $A$ 的行向量组成的向量组的秩,即$R(A)=R(A^T)$。所以 $A$ 的行向量组成的向量组的秩也为 $2$。
根据齐次线性方程组的求解方法,可以得到该方程组的解向量组的维数为 $n-R(A)=n-2$。其中,$n$ 表示未知量的个数,也就是 $A$ 的列数。
因此,齐次线性方程组 $Ax=0$解向量组的基础解系包含 $n-2$ 个向量。