证明齐次线性方程组的解集是一个向量空间
时间: 2023-09-21 21:05:19 浏览: 108
好的,让我来回答你的问题。证明齐次线性方程组的解集是一个向量空间的方法如下:
1. 齐次线性方程是指形式为Ax = 0的线性方程,其中A是一个m×n的矩阵,x是一个n×1的列向量,0是一个m×1的零向量。
2. 齐次线性方程组的解集是一个向量空间,需要满足向量空间的四个基本条件:
2.1. 加法封闭性:对于任意两个解x和y,x+y也是一个解;
2.2. 数乘封闭性:对于任意一个解x和任意一个数α,αx也是一个解;
2.3. 零向量存在性:存在一个解O,称为零向量;
2.4. 加法逆元存在性:对于任意一个解x,存在一个解-y,使得x+y=O。
3. 加法封闭性的证明:设x1和x2分别是方程Ax=0的解,那么有Ax1=0和Ax2=0,所以A(x1+x2)=Ax1+Ax2=0+0=0,即x1+x2也是方程Ax=0的解。
4. 数乘封闭性的证明:设x是方程Ax=0的解,那么有A(αx)=α(Ax)=α0=0,即αx也是方程Ax=0的解。
5. 零向量存在性的证明:令x=O,有AO=0,即O是方程Ax=0的解。
6. 加法逆元存在性的证明:设x是方程Ax=0的解,令y=-x,则有x+y=x+(-x)=O,且Ay=A(-x)=-Ax=0,即y也是方程Ax=0的解。
因此,齐次线性方程组的解集是一个向量空间。
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: 1-1 齐次线性方程组解的结构:验证其解集是一个向量空间;非齐次线性方程组 有解的充分必要条件;非齐次线性方程组在有解的前提下:如何求解、其解集与 对应的齐次线性方程组解集之间的关系
好的,让我来回答您的问题。
对于1-1齐次线性方程组 Ax=0,其中 A 是一个 m×n 的矩阵,x 是一个 n 维列向量,它的解集是一个向量空间。这是因为:
1. 它的解集是一个子空间:设 x1 和 x2 是 Ax=0 的两个解,那么对于任意标量 c1 和 c2,有 c1x1 + c2x2 也是 Ax=0 的解,因此 Ax=0 的解集是一个子空间。
2. 它的解集的维数等于 n-r(其中,r 是 A 的秩):这是因为 Ax=0 的解集是 A 的零空间,零空间的维数等于 n-r。这个结论可以通过奇异值分解或者高斯消元等方法求得矩阵 A 的秩来证明。
对于非齐次线性方程组 Ax=b,其中 b 是一个 m 维列向量,有解的充分必要条件是 b 属于 A 的列空间。
非齐次线性方程组 Ax=b 在有解的前提下,可以通过高斯消元法求解。具体来说,将方程组化为增广矩阵 [A|b],通过一系列初等变换将其化为行阶梯形矩阵 [R|c],其中 R 是 A 的行阶梯形矩阵,c 是一个 n 维列向量。然后,可以利用 R 的行和 c 求出方程组的通解。
非齐次线性方程组的解集与 对应的齐次线性方程组解集之间的关系是:非齐次线性方程组 Ax=b 的解集是齐次线性方程组 Ax=0 的解集加上一个特解 x0。也就是说,Ax=b 的解集可以表示为{x0 + y | Ay=0},其中 x0 是 Ax=b 的一个特解,y 是 Ax=0 的任意一个解。这个结论可以通过将非齐次线性方程组化为[ A | 0 ][ x | 1 ] = [ b | 1 ],然后将其化为行阶梯形矩阵证明。
说明齐次线性方程组 Ax=0 的基础解系中任一向量与系数矩阵行向量组中 任一向量皆正交
设矩阵 A 的列向量组为 {a₁, a₂, ..., aₙ},则齐次线性方程组 Ax=0 的解空间为:
{ x | Ax = 0 } = { k₁a₁ + k₂a₂ + ... + kₙaₙ | k₁, k₂, ..., kₙ ∈ R }
其中,k₁, k₂, ..., kₙ 是任意实数。
现在我们要证明,对于基础解系中的任意向量 x,都有 x 与 {a₁, a₂, ..., aₙ} 中的任意向量正交。
首先,考虑基础解系中的向量 x 是方程 Ax=0 的解,即有 Ax=0。因此,我们可以将 x 表示为:
x = k₁x₁ + k₂x₂ + ... + kₛxₛ
其中,x₁, x₂, ..., xₛ 是 A 的任意一组基础解系向量,k₁, k₂, ..., kₛ 是任意实数。
接下来,我们来证明 x 与 aᵢ 的内积为 0,即:
x·aᵢ = 0
将 x 和 aᵢ 展开,得到:
(k₁x₁ + k₂x₂ + ... + kₛxₛ)·aᵢ = 0
将内积展开,得到:
k₁(x₁·aᵢ) + k₂(x₂·aᵢ) + ... + kₛ(xₛ·aᵢ) = 0
因为 x₁, x₂, ..., xₛ 是 A 的基础解系向量,所以它们都是 Ax=0 的解,即有 Axᵢ=0,其中 xᵢ 表示 x₁, x₂, ..., xₛ 中的任意一个向量。因此,我们可以得到:
A(x₁, x₂, ..., xₛ) = [0, 0, ..., 0]
其中,[0, 0, ..., 0] 是一个 n 维的零向量。
因为 aᵢ 是 A 的列向量,所以有:
A(a₁, a₂, ..., aᵢ, ..., aₙ) = [0, 0, ..., 0]
其中,[0, 0, ..., 0] 是一个 n 维的零向量。
因此,我们可以得到:
A(x₁, x₂, ..., xₛ, a₁, a₂, ..., aᵢ, ..., aₙ) = [0, 0, ..., 0]
即矩阵 [x₁, x₂, ..., xₛ, a₁, a₂, ..., aᵢ, ..., aₙ] 的所有列向量都是 Ax=0 的解,因此它的秩不超过 n - r,其中 r 是矩阵 A 的秩。
因为 x₁, x₂, ..., xₛ 是 A 的基础解系向量,所以它们线性无关,即矩阵 [x₁, x₂, ..., xₛ] 的秩为 s。因为矩阵 [x₁, x₂, ..., xₛ, a₁, a₂, ..., aᵢ, ..., aₙ] 的秩不超过 n - r,所以矩阵 [a₁, a₂, ..., aᵢ, ..., aₙ] 的秩不小于 r。
因此,我们可以得到:
r ≤ rank([x₁, x₂, ..., xₛ, a₁, a₂, ..., aᵢ, ..., aₙ]) ≤ n - r
即 2r ≤ n,因此 r 不大于 n/2。
现在我们来证明 x·aᵢ = 0。因为 aᵢ 是 A 的列向量,所以有:
aᵢ = k₁a₁ + k₂a₂ + ... + kᵢaᵢ + ... + kₙaₙ
其中,k₁, k₂, ..., kₙ 是任意实数。
将 aᵢ 代入 x·aᵢ 中,得到:
x·aᵢ = (k₁x·a₁) + (k₂x·a₂) + ... + (kᵢx·aᵢ) + ... + (kₙx·aₙ)
因为 x₁, x₂, ..., xₛ 是 A 的基础解系向量,所以它们都与 A 的所有列向量正交,即:
x₁·a₁ = x₁·a₂ = ... = x₁·aₙ = 0
x₂·a₁ = x₂·a₂ = ... = x₂·aₙ = 0
...
xₛ·a₁ = xₛ·a₂ = ... = xₛ·aₙ = 0
因此,有:
(k₁x·a₁) + (k₂x·a₂) + ... + (kᵢx·aᵢ) + ... + (kₙx·aₙ) = kᵢ(x·aᵢ)
因为 x·aᵢ 是任意实数,所以当 kᵢ = -x·aᵢ / (aᵢ·aᵢ) 时,有:
x·aᵢ = -kᵢ(aᵢ·aᵢ)
因为 aᵢ·aᵢ > 0,所以 kᵢ 的符号与 x·aᵢ 的符号相反。因此,有 x·aᵢ = 0,即证毕。