: 1-1 齐次线性方程组解的结构:验证其解集是一个向量空间;非齐次线性方程组 有解的充分必要条件;非齐次线性方程组在有解的前提下:如何求解、其解集与 对应的齐次线性方程组解集之间的关系

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对于1-1齐次线性方程组 Ax=0，其中 A 是一个 m×n 的矩阵，x 是一个 n 维列向量，它的解集是一个向量空间。这是因为：

1. 它的解集是一个子空间：设 x1 和 x2 是 Ax=0 的两个解，那么对于任意标量 c1 和 c2，有 c1x1 + c2x2 也是 Ax=0 的解，因此 Ax=0 的解集是一个子空间。

2. 它的解集的维数等于 n-r（其中，r 是 A 的秩）：这是因为 Ax=0 的解集是 A 的零空间，零空间的维数等于 n-r。这个结论可以通过奇异值分解或者高斯消元等方法求得矩阵 A 的秩来证明。

对于非齐次线性方程组 Ax=b，其中 b 是一个 m 维列向量，有解的充分必要条件是 b 属于 A 的列空间。

非齐次线性方程组 Ax=b 在有解的前提下，可以通过高斯消元法求解。具体来说，将方程组化为增广矩阵 [A|b]，通过一系列初等变换将其化为行阶梯形矩阵 [R|c]，其中 R 是 A 的行阶梯形矩阵，c 是一个 n 维列向量。然后，可以利用 R 的行和 c 求出方程组的通解。

非齐次线性方程组的解集与 对应的齐次线性方程组解集之间的关系是：非齐次线性方程组 Ax=b 的解集是齐次线性方程组 Ax=0 的解集加上一个特解 x0。也就是说，Ax=b 的解集可以表示为{x0 + y | Ay=0}，其中 x0 是 Ax=b 的一个特解，y 是 Ax=0 的任意一个解。这个结论可以通过将非齐次线性方程组化为[ A | 0 ][ x | 1 ] = [ b | 1 ]，然后将其化为行阶梯形矩阵证明。

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1-1齐次线性方程组解的结构：验证其解集是一个向量空间；非齐次线性方程组 有解的充分必要条件；非齐次线性方程组在有解的前提下：如何求解、其解集与 对应的齐次线性方程组解集之间的关系；

1. 齐次线性方程组解集是一个向量空间

对于一个齐次线性方程组Ax=0，它的解集是一个向量空间，记为S。具体来说，S满足以下条件：

（1）S非空，因为零向量是任何向量的线性组合，所以零向量一定属于S；

（2）S对于向量加法和标量乘法封闭，即对于任意的x、y∈S和任意的实数a，都有x+y∈S，a*x∈S；

（3）S满足向量加法的结合律、交换律、存在零元素和不存在逆元素；

（4）S满足标量乘法的结合律和分配律，且1*x=x。

2. 非齐次线性方程组有解的充分必要条件

对于一个非齐次线性方程组Ax=b，它有解的充分必要条件是b属于A的列向量组的列空间，即b∈Col(A)。

3. 非齐次线性方程组在有解的前提下如何求解、其解集与对应的齐次线性方程组解集之间的关系

如果非齐次线性方程组Ax=b有解，那么它的解集是由特解x0和齐次线性方程组Ax=0的解集S所构成的，即x=x0+y，其中y∈S。

求解非齐次线性方程组可以使用求解齐次线性方程组的方法，再加上求解特解的方法。具体来说，可以先求解Ax=0的解集S，然后求解Ax=b的一个特解x0，最后得到非齐次线性方程组的解集为{x0+y|y∈S}。

另外，如果x1和x2都是Ax=b的解，那么有Ax1=b和Ax2=b，两式相减可得A(x1-x2)=0，即x1-x2属于Ax=0的解集S。因此，非齐次线性方程组的任意两个解之间的差是Ax=0的解。

1-1 齐次线性方程组解的结构：验证其解集是一个向量空间；非齐次线性方 程组有解的充分必要条件；非齐次线性方程组在有解的前提下：如何求解、其解 集与对应的齐次线性方程组解集之间的关系；

1. 解集是一个向量空间：

对于齐次线性方程组 $Ax=0$，它的解向量构成一个向量空间，记作 $V$，满足以下性质：

（1）加法封闭性：若 $x,y\in V$，则 $x+y\in V$。

（2）数乘封闭性：若 $x\in V$，$\lambda\in\mathbb{R}$，则 $\lambda x\in V$。

（3）加法交换律：若 $x,y\in V$，则 $x+y=y+x$。

（4）加法结合律：若 $x,y,z\in V$，则 $(x+y)+z=x+(y+z)$。

（5）加法有单位元：存在 $0\in V$，使得对于任意 $x\in V$，有 $x+0=x$。

（6）加法有逆元：对于任意 $x\in V$，存在 $-x\in V$，使得 $x+(-x)=0$。

2. 非齐次线性方程组有解的充分必要条件：

对于非齐次线性方程组 $Ax=b$，它有解的充分必要条件是 $b$ 可以表示为 $A$ 的列向量的线性组合，即 $b\in$ $A$ 的列向量生成的向量空间 $W$。

3. 非齐次线性方程组在有解的前提下：如何求解、其解集与对应的齐次线性方程组解集之间的关系：

（1）求特解：找到一个特解 $x_0$，使得 $Ax_0=b$。

（2）求齐次线性方程组的通解：解齐次线性方程组 $Ax=0$，得到它的通解 $x_h$。

（3）求非齐次线性方程组的解集：非齐次线性方程组的解集为 $x_0+x_h$，其中 $x_0$ 是特解，$x_h$ 是齐次线性方程组的通解。

（4）解集的性质：

① 解集是一个向量空间；

② 解集中的任意两个解的差是齐次线性方程组的解；

③ 解集中的任意两个解的和是非齐次线性方程组的解。