BFGS融入的DE算法：高效求解非线性方程组

本文主要探讨了如何改进差分进化算法以克服其在求解非线性方程组过程中存在的收敛速度慢和稳定性不足的问题。作者提出了一种结合BFGS算法的新型算法，即BFGS差分进化算法，用于处理复杂的非线性方程组求解任务。 非线性方程组是工程领域广泛应用的问题，在数值天气预报、石油地质勘探、计算生物化学等多个领域都有重要作用。传统的求解方法，如牛顿法、梯度法和BFGS法等，虽然计算精度高，但对初始值敏感且可能遇到求导和矩阵求逆的困难。另一方面，进化算法如遗传算法和差分进化算法因其无需导数信息而具有快速计算的优势，但精度通常较低。 文章的核心在于将BFGS算法（一种高效局部搜索优化算法，以其自适应的Hessian矩阵近似能力而著称）与差分进化算法相结合。BFGS算法在每次迭代中通过构建和更新一个近似的海森矩阵来改善搜索方向，从而提高求解效率和精度。而差分进化算法则提供了全局搜索的能力，两者结合能够兼顾精度和速度。 作者构建了一个非线性方程组的数学模型，将其转化为寻找适应度函数F(X)最小值的优化问题。适应度函数F(X)衡量了方程组中每个方程与常数项的差异，求解的目标就是找到使适应度函数值最小的未知向量X。 在算法的具体实现中，首先定义了包含n个方程和m个未知量的非线性方程组，然后通过构造适应度函数F(X)，将非线性方程组的求解问题转化为求解优化问题。BFGS差分进化算法结合了差分进化算法的全局搜索和BFGS算法的局部优化特性，使得算法在收敛速度、精度和鲁棒性上都有所提升。 通过实验，作者验证了提出的BFGS差分进化算法在解决5个非线性方程组和一个工程实例时，表现出了较高的收敛精度、更快的收敛速度、更强的鲁棒性和较高的收敛成功率，证明了它是一种有效且适用范围广泛的求解非线性方程组的方法。 最后，研究工作得到了国家自然科学基金的重大研究计划和一般项目的资助，强调了这种方法在实际工程问题中的价值和前景。