说明齐次线性方程组 Ax=0 的基础解系中任一向量与系数矩阵行向量组中 任一向量皆正交

设矩阵 A 的列向量组为 {a₁, a₂, ..., aₙ}，则齐次线性方程组 Ax=0 的解空间为：

{ x | Ax = 0 } = { k₁a₁ + k₂a₂ + ... + kₙaₙ | k₁, k₂, ..., kₙ ∈ R }

其中，k₁, k₂, ..., kₙ 是任意实数。

现在我们要证明，对于基础解系中的任意向量 x，都有 x 与 {a₁, a₂, ..., aₙ} 中的任意向量正交。

首先，考虑基础解系中的向量 x 是方程 Ax=0 的解，即有 Ax=0。因此，我们可以将 x 表示为：

x = k₁x₁ + k₂x₂ + ... + kₛxₛ

其中，x₁, x₂, ..., xₛ 是 A 的任意一组基础解系向量，k₁, k₂, ..., kₛ 是任意实数。

接下来，我们来证明 x 与 aᵢ 的内积为 0，即：

x·aᵢ = 0

将 x 和 aᵢ 展开，得到：

(k₁x₁ + k₂x₂ + ... + kₛxₛ)·aᵢ = 0

将内积展开，得到：

k₁(x₁·aᵢ) + k₂(x₂·aᵢ) + ... + kₛ(xₛ·aᵢ) = 0

因为 x₁, x₂, ..., xₛ 是 A 的基础解系向量，所以它们都是 Ax=0 的解，即有 Axᵢ=0，其中 xᵢ 表示 x₁, x₂, ..., xₛ 中的任意一个向量。因此，我们可以得到：

A(x₁, x₂, ..., xₛ) = [0, 0, ..., 0]

其中，[0, 0, ..., 0] 是一个 n 维的零向量。

因为 aᵢ 是 A 的列向量，所以有：

A(a₁, a₂, ..., aᵢ, ..., aₙ) = [0, 0, ..., 0]

其中，[0, 0, ..., 0] 是一个 n 维的零向量。

因此，我们可以得到：

A(x₁, x₂, ..., xₛ, a₁, a₂, ..., aᵢ, ..., aₙ) = [0, 0, ..., 0]

即矩阵 [x₁, x₂, ..., xₛ, a₁, a₂, ..., aᵢ, ..., aₙ] 的所有列向量都是 Ax=0 的解，因此它的秩不超过 n - r，其中 r 是矩阵 A 的秩。

因为 x₁, x₂, ..., xₛ 是 A 的基础解系向量，所以它们线性无关，即矩阵 [x₁, x₂, ..., xₛ] 的秩为 s。因为矩阵 [x₁, x₂, ..., xₛ, a₁, a₂, ..., aᵢ, ..., aₙ] 的秩不超过 n - r，所以矩阵 [a₁, a₂, ..., aᵢ, ..., aₙ] 的秩不小于 r。

因此，我们可以得到：

r ≤ rank([x₁, x₂, ..., xₛ, a₁, a₂, ..., aᵢ, ..., aₙ]) ≤ n - r

即 2r ≤ n，因此 r 不大于 n/2。

现在我们来证明 x·aᵢ = 0。因为 aᵢ 是 A 的列向量，所以有：

aᵢ = k₁a₁ + k₂a₂ + ... + kᵢaᵢ + ... + kₙaₙ

其中，k₁, k₂, ..., kₙ 是任意实数。

将 aᵢ 代入 x·aᵢ 中，得到：

x·aᵢ = (k₁x·a₁) + (k₂x·a₂) + ... + (kᵢx·aᵢ) + ... + (kₙx·aₙ)

因为 x₁, x₂, ..., xₛ 是 A 的基础解系向量，所以它们都与 A 的所有列向量正交，即：

x₁·a₁ = x₁·a₂ = ... = x₁·aₙ = 0
x₂·a₁ = x₂·a₂ = ... = x₂·aₙ = 0
...
xₛ·a₁ = xₛ·a₂ = ... = xₛ·aₙ = 0

因此，有：

(k₁x·a₁) + (k₂x·a₂) + ... + (kᵢx·aᵢ) + ... + (kₙx·aₙ) = kᵢ(x·aᵢ)

因为 x·aᵢ 是任意实数，所以当 kᵢ = -x·aᵢ / (aᵢ·aᵢ) 时，有：

x·aᵢ = -kᵢ(aᵢ·aᵢ)

因为 aᵢ·aᵢ > 0，所以 kᵢ 的符号与 x·aᵢ 的符号相反。因此，有 x·aᵢ = 0，即证毕。