"线性方程组与向量空间：阶梯形的唯一性和向量的定义"

Lecture 10-1.pptx 北北京京大大学学工工学学院院1 第三章 线性方程组(2)(System of linear equations) 北北京京大大学学工工学学院院2 在上一节中，我们介绍了线性方程组可以化为阶梯形，但我们不确定阶梯形的线性方程组形式是否唯一确定，以及最终的非零方程个数是否唯一。根据我们的经验，阶梯形并不是唯一的。然而，简化阶梯形是唯一的（但尚未证明）。为了证明这一点，我们需要引入向量的概念。 在n维几何向量空间中，我们定义：设P是一个数域。P中的n个数所组成的一个n元有序数组称为一个n维向量（n-vector），记为：a。常用例子是二维向量，表示为 (a1, a2)，三维向量表示为 (a1, a2, a3)，以此类推。其中ai习惯上称为向量的第i个分量。我们可以用加重的希腊字母来表示向量，一般采用并列的箭头表示。向量的记法如下： 向量的定义示例如下： n 维实向量：(a1, a2, ..., an) n 维复向量：(a1, a2, ..., an) 其中，第1个分量为a1，第n个分量为an，第2个分量为a2，以此类推。 n维向量也可以写成一行，称为行向量或行矩阵；或者写成一列，称为列向量。示例如下： 行向量：(a1, a2, ..., an) 列向量： a1 a2 ... an 通过向量的概念，我们可以更方便地描述和运算线性方程组。当我们需要在高维空间中处理多个方程时，向量的概念能够提供更好的表示和计算方式。通过将方程组的系数和常数项表示为向量，我们可以使用向量的运算规则来进行方程组的化简和求解。此外，向量的概念也为我们提供了更深入理解线性代数的框架。 在接下来的学习中，我们将进一步探讨向量的性质、运算规则以及与线性方程组的关系。通过深入理解向量的概念，我们能够更加灵活地处理线性方程组的求解问题，为我们解决实际问题提供更多的思路和方法。 通过本节内容的学习，我们了解了向量的定义和表示方法。向量是n维有序数组，可以表示为行向量或列向量。通过引入向量的概念，我们可以更好地描述和处理线性方程组。在接下来的学习中，我们将进一步研究向量的性质和运算规则，以及利用向量来求解线性方程组的方法和技巧。对于想要深入理解线性代数的同学们来说，向量的学习是非常重要的一步。通过学习和掌握向量的基本概念，我们能够更好地应用线性代数知识解决实际问题，提高我们的问题解决能力和思维方式。 总结起来，本节内容主要介绍了向量的概念和表示方法。向量是n维有序数组，可以写成行向量或列向量的形式。通过引入向量的概念，我们可以更加方便地描述和运算线性方程组。向量的学习对于我们深入理解线性代数知识以及应用于实际问题解决中具有重要意义。下一节，我们将继续学习向量的性质和运算规则，为后续的线性方程组求解打下坚实基础。