说明齐次线性方程组 Ax=0 的基础解系中任一向量与 的列向量组中任 一向量皆正交;进而 的列向量组的极大无关组添加上 Ax=0 的基础解系仍 然是线性无关的;
时间: 2024-05-26 12:11:35 浏览: 19
好的,让我来回答你的问题。首先我们知道,齐次线性方程组 Ax=0 的基础解系中任一向量与 A 的列向量组中任一向量皆正交。这是因为基础解系中的向量是零空间的一组基,它们与 A 的列向量组的积为零,即它们和 A 的列向量组中的向量正交。
其次,我们要证明添加上 Ax=0 的基础解系后的列向量组仍然是线性无关的。我们假设存在一组系数 c1,c2,...,ck,使得
c1A1 + c2A2 + ... + ckAk + b1v1 + b2v2 + ... + bmvm = 0
其中,v1,v2,...,vm 是 Ax=0 的基础解系中的向量。
根据我们前面得出的结论,v1,v2,...,vm 与 A 的列向量组中的向量正交,因此上式可进一步化简为
c1A1 + c2A2 + ... + ckAk = 0
由于 A 的列向量组的极大无关组是线性无关的,因此 c1,c2,...,ck 必须全部为零,才能满足上式。因此,添加上 Ax=0 的基础解系后的列向量组仍然是线性无关的。
希望这个回答对你有帮助。如果你有更多问题,可以继续问我。
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说明齐次线性方程组 Ax=0 的基础解系中任一向量与 的列向量组中任 一向量皆正交;
对于齐次线性方程组Ax=0,其基础解系中的向量是满足Ax=0的向量构成的向量组,如果该向量组只有零解,则它的基础解系为空。
对于非空的基础解系,可以通过高斯消元等方法求得。假设该基础解系为{x1,x2,...,xn},则对于任意的i,j∈{1,...,n},有xi·Aj=0,即xi与Aj正交。
其中,Aj为矩阵A的第j列向量,·表示内积符号。
同时,由于x1,x2,...,xn构成基础解系,它们必须线性无关。因此,若有一个向量b可以表示为b=c1x1+c2x2+...+cnxn,其中c1,c2,...,cn为任意常数,则b与向量组{Aj}中的任意一个向量都正交,即b·Aj=0。
说明齐次线性方程组 Ax=0的基础解系中任一向量与A转置的列向量组中任一向量皆正交
这是因为对于齐次线性方程组Ax=0,它的解向量x一定属于A的零空间,也就是A的所有列向量的线性组合中产生的向量的集合。因此,在基础解系中,每个解向量都与A的所有列向量正交,因为在基础解系中的解向量可以表示为A的列向量的线性组合,而任意两个不同的列向量是线性无关的,因此它们的内积为0。同样地,A的转置的列向量组也是线性无关的,因此它们互相正交。因此,基础解系中的任意解向量和A转置的列向量组中的任意向量互相正交。